Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля

В предыдущих лекциях речь шла о математических объектах, которые не являются числами, но над ними можно осуществлять алгебраические операции. Подобные системы объектов возникают в математике в различных ситуациях, потому возникает необходимость формализовать некоторые общие понятия.

Def. Говорят, что на множестве М определена бинарная операция , если для любых двух элементов определен элемент

Def. Группой называется множество G, на котором определена некоторая бинарная операция (сложения или умножения) так, что выполняются условия:

1) (операция ассоциативна);

2) нейтральный элемент такой, что ;

3) обратный элемент такой, что .

Если групповая операция это операция сложения, группа называется аддитивной. В этом случае нейтральный элемент называют нулевым элементом.

Если групповая операция – умножение, то группу называют мультипликативной, а нейтральный элемент называют единичным.

Если для групповой операции справедлив коммутативный закон, то группу называют абелевой группой.

N. 1) Множество целых чисел Z – абелева аддитивная группа.

2) Множество чисел кратных а – абелева аддитивная группа.

3) Множество n-мерных векторов – абелева аддитивная группа.

4) Множество матриц размера - абелева аддитивная группа.

5) Множество невырожденных квадратных матриц одинаковой размерности – мультипликативная группа (не является абелевой. Почему?)

Def. Множество К, на котором определены операции сложения и умножения называется кольцом, если эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1) ;

2) нулевой элемент 0: ;

3) противоположный элемент : ;

4) ;

5) ;

6) .

Если к тому же , то кольцо называется ассоциативным. Если же , то кольцо называется коммутативным.

N. Множество квадратных матриц n-го порядка является ассоциативным кольцом.

Def. Коммутативное кольцо Р называется полем, если:

1) (единичный элемент): ;

2) обратный элемент

N. 1) Множество квадратных невырожденных матриц не является полем (Почему?).

2) Множество рациональных чисел Q и множество действительных чисел R являются полями.

Поле комплексных чисел

Рассмотрим множества N, Z, Q, R. Рассмотрим уравнение вида . В случае, если , то Таким образом, отыскание решений уравнения приводит к расширению множества N до множества Z.

Рассмотрим уравнение Решение уравнения приводит к переходу к множеству Q. Аналогично решение уравнений приводит к множеству R. Необходимость решать уравнение типа приводит к необходимости дальнейшего расширения множества чисел.

Поставим задачу построить новую систему чисел, которая бы содержала решения уравнения и являлась бы расширением множества R.

Def. Пару действительных чисел назовем комплексным числом.

Для построения новой числовой системы необходимо определить основные операции над ее элементами:

1) (8.1)

2) ; (8.2)

3) ; (8.3)

Свойства операции над комплексными числами.

Пусть - комплексные числа. Тогда: 1. ; 2. ; 3. нулевой элемент : ; 4. противоположный элемент ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. единичный элемент : ; 9. обратный элемент .

Доказательство.

Свойства 1-3, 5 очевидны, они вытекают непосредственно из определения операций сложения и умножения комплексных чисел. Докажем остальные свойства.

Свойство 4. Пусть , тогда . Действительно, .

Свойство 6. Пусть .

.

.

Значит, .

Свойство 7. Доказывается аналогично свойству 6.

Свойство 8. Докажем, что существует единственный единичный элемент

Необходимо найти такой элемент , что .

Имеем . Отсюда получаем систему линейных уравнений:

Значит, - единственный единичный элемент .

Свойство 9. Найдем обратный элемент для

. Отсюда:

Решим полученную СЛУ по формулам Крамера. (т.к. ), . Имеем,

.

Значит, .

Def. Под разностью комплексных чисел и будем понимать комплексное число, которое получается следующим образом:

(8.4)

Т.к. для каждого комплексного числа противоположный элемент определен однозначно, то и операция вычитания определена однозначно.

Def. Число называют частным от деления числа на число , если .

Пусть . Тогда

.

Составим систему уравнений:

Система будет иметь единственное решение, если , т.е В этом случае

Таким образом, получаем

(8.5)

Нетрудно проверить, что (сделайте это самостоятельно).

Итак, определены основные операции на множестве комплексных чисел и, следовательно, завершено построение системы комплексных чисел. Свойства введенных операций над комплексными числами позволяют сделать вывод о том, что множество комплексных чисел является полем. Поле комплексных чисел обозначают большой латинской буквой С.

Проверим действие введенных операций на множестве действительных чисел. Пару отождествим с действительным числом Применим к и те арифметические операции, которые были определены на множестве комплексных чисел. Из (8.2 – 8.5) получаем:

;

.

Таким образом, применение операций на множестве С дает те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно С есть алгебраическое расширение множества R.