Гипербола

Def. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (меньшая чем расстояние между фокусами).

Обозначим расстояние между фокусами (фокальное расстояние) через а модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов –

Пусть – фокусы гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы (рис. 16.3). В нашем случае Пусть – текущая точка гиперболы. – фокальные радиусы.

Рис. 16.3

Тогда или

(16.10)

(16.11)

Обозначим

(16.12)

Тогда (16.11) принимает вид

Разделив обе части полученного равенства на имеем

(16.13)

Уравнение (16.13) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1. Из уравнения (16.13) следует, что Т.е. точки гиперболы расположены правее прямой (правая ветвь гиперболы) и левее прямой (левая ветвь гиперболы).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (16.13) получим Т.е. точки – точки пересечения гиперболы с осью Положив в уравнении (16.13) получим Значит, гипербола не имеет точек пересечения с осью

Def. Точки называют вершинами гиперболы. Отрезок и его длину называют действительной осью гиперболы, а отрезок соединяющий точки и , и его длину – мнимой осью. Числа называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Def. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.

3. Если точка принадлежит гиперболе, то точки также принадлежат гиперболе. Отсюда следует симметрия гиперболы относительно координатных осей и начала отсчета.

Def. Центр симметрии гиперболы называют еще центром гиперболы. Таким образом, для гиперболы, заданной уравнением (16.13), точка - центр гиперболы.

4. В силу симметрии гиперболы исследуем только ту ее часть, которая расположена в І координатной четверти, т.е. при и

Из (16.13) имеем

Или

Докажем, что прямая является асимптотой гиперболы. Из курса математического анализа известно, что прямая является асимптотой кривой если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки вдоль кривой от начала отсчета.

У нас

Следовательно, – асимптота кривой

Учитывая симметрию гиперболы, можно утверждать, что ее асимптоты имеют вид:

(16.14)

Таким образом, гипербола, заданная уравнением (16.13) имеет форму, изображенную на рисунке 16.4.

Замечание.

Если фокусы гиперболы лежат на оси то ее уравнение имеет вид:

(16.15)

где

(16.16)

Гипербола, заданная уравнением (16.15), изображена на рис. 16.5. Ее действительная ось расположена на оси а мнимая ось – на оси

Def. Гиперболы, заданные уравнениями (16.13) и (16.15), называются сопряженными гиперболами.

Очевидно, что сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

Рис. 16.4

Рис. 16.5

Def. Гипербола, у которой называется равносторонней гиперболой.

Ее каноническое уравнение уравнение имеет вид:

(16.17)

Асимптоты равносторонней гиперболы – прямые

Можно доказать, что если выполнить поворот декартовой системы координат на угол то уравнение равносторонней гиперболы принимает вид:

(16.18)

Def. Величину , равную отношению половины фокального расстояния к действительной полуоси называют эксцентриситетом гиперболы.

Т.е. для гиперболы с фокусами на оси

(16.19)

Причем, т.к.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно,

(16.20)

Из (16.20) следует, что если то Значит, чем меньше тем меньше отношение ее полуосей. А значит, более вытянут основной прямоугольник вдоль оси .

Для равносторонней гиперболы Действительно,

Понятно, что для гиперболы с фокусами на оси заданной уравнением (16.15), эксцентриситет равен:

(16.21)

При выводе канонического уравнения гиперболы мы получили следующие выражения для фокальных радиусов:

Используя понятие эксцентриситета, можно получить рациональные выражения для фокальных радиусов. Действительно, из (16.10)

Разделим обе части равенства на Получим т.е.

(16.22)

Для правой ветки гиперболы

(16.23)

Учитывая, что для правой ветки гиперболы получаем, что

(16.24)

Для левой ветки гиперболы

(16.25)

и Тогда:

(16.26)