Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы

Def. Прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные на расстоянии от его центра, называются директрисами эллипса.

Если задан эллипс своим каноническим уравнением с фокусами на оси (т.е. ), то его директрисами будут прямые и . Поскольку для эллипса то Значит, директрисы не пересекают эллипс (рис. 17.1).

Аналогично определяется директриса гиперболы.

Def. Прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные на расстоянии от его центра, называются директрисами гиперболы.

Для гиперболы значит, Следовательно, директрисы не пересекают гиперболу. Для гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, директрисы изображены на рис. 17.2.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Th. 17.1

Пусть - длина фокального радиуса точки эллипса (гиперболы), а - расстояние от этой точки до соответствующей директрисы, тогда (17.1)

Доказательство.

Проведем доказательство теоремы для эллипса.

Пусть текущая точка эллипса. Согласно (16.8) и (16.9) Очевидно, что (рис. 17.3).

Что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для правой и левой ветвей гиперболы .

Рис. 17.3

Парабола

Def. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы параболы). Пусть расстояние от фокуса параболы до ее директрисы равно Выберем декартову прямо­угольную систему координат на плоскости так, чтобы ось была параллельна директрисе

Рис. 17. 4

и фокус был расположен в точке (рис. 17.4). Пусть - текущая точка параболы.

Согласно определению параболы

Таким образом,

(17.2)

Уравнение (17.2) называется каноническим уравнением параболы.

Исследуем форму параболы, заданной уравнением (17.2).

1. Из (17.2) вытекает, что Значит парабола расположена в правой полуплоскости.

2. Если точка принадлежит параболе, то ей принадлежит и точка Следовательно, имеет место симметрия относительно оси абсцисс.

3. Очевидно, что парабола проходит через точку Можно показать, что парабола в этой точке касается оси Точку называют вершиной параболы. 4. Если то Таким образом, парабола, заданная уравнением (17.2), имеет вид, изображенный на рис. 17.4.

Рис. 17.4

Замечание.

Если фокус параболы лежит на оси а директриса параллельна оси ординат (при этом фокус и директриса равноудалены от оси абсцисс), то ее уравнение имеет вид:

(17.3)

Очевидно, что кривая, определяемая уравнением 17.3 задает кривую, изображенную на рис. 17.5.

Уравнения также задают параболы, котрые изображены на рис. 17.6 и 17.7

Рис. 17.5

Рис. 17.6

Рис. 17.7