Эллиптический параболоид

Def. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.8)

Исследуем форму эллиптического параболоида.

1. Из уравнения (18.8) видно, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, а ось – его осью симметрии. При эллиптический параболоид расположен в полупространстве а при – в полупространстве

2. Исследуем форму эллиптическогопараболоида при по его сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Уравнениями линии пересечения эллиптического параболоида с плоскостью будут

Это уравнение определяет точку – начало координат.

Уравнения линий пересечения данного параболоида с плоскостями параллельными координатной плоскости имеют вид

(18.9)

Это эллипсы с полуосями и Причем при возрастании полуоси эллипса неограниченно возрастают.

3. Линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью будет парабола

(18.10)

Аналогично линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью - парабола

(18.11)

Плоскость пересекает данный параболоид по линии, которая задается уравнением

или

(18.12)

Уравнение (18.12) задает параболу. Эта парабола получается из параболы (18.10) с помощью параллельного переноса, при котором вершина параболы перемещается из точки в точку Таким образом, эллипти­ческий параболоид (18.8) может быть образован путем параллельного пере­носа параболы (18.10), при котором ее вершина движется по параболе (18.11).

Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что плоскость пересекает эллиптический параболоид по параболе

которая представляет собой результат параллельного переноса параболы (18.11), при котором ее вершина перемещается из точки в точку Значит, параболоид (18.8) может быть образован также путем параллельного переноса параболы (18.11), при котором ее вершина движется по параболе (18.10). Эллиптический параболоид изображен на рис. 18.4.

Рис. 18.4

Гиперболический параболоид

Def. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.13)

Исследуем форму гиперболического параболоида.

1. Из уравнения (18.13) видно, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, а ось – его осью симметрии.

2. Исследуем форму эллиптическогопараболоида при по его сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Линией пересечения гиперболического параболоида с плоскостью будет парабола

(18.14

а с плоскостью - парабола

(18.15)

Плоскости пересекают гиперболический параболоид по параболам

или

(18.16)

Эти параболы представляют собой результат паарллельного переноса параболы (18.15), при котором ее вершина перемещается из точки в точки Т.е. гиперболический параболоид может быть образован путем параллельного переноса параболы (18.15), при котором ее вершина движется по параболе (18.14).

3. Линия пересечения гиперболического параболоида с плоскостью задается уравнением

или

(18.17)

Уравнение (18.17) задает пару пересекающихся прямых.

Линии персечения гиперболического параболоида с плоскостями представляют собой при гиперболу

с действительной полуосью и мнимой полуосью а при гиперболу

Рис. 18.5

с действительной полуосью и мнимой полуосью

Гиперболический параболоид изображен на рис. 18.5.

Цилиндрические поверхности

Def. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, образованная движением прямой, которая пересекает кривую и параллельна данному вектору (рис. 18.6). Def. Прямая, которая своим движением образует цилиндрическую поверхность называется образующей, а кривая –

Рис. 18.6

направляющей цилиндра.

Th. 18.1

Если образующая цилиндра параллельна оси то его уравнение имеет вид где – уравнение направляющей в плоскости

Доказательство.

Пусть – произвольная точка цилиндрической поверхности и ее направляющая в плоскости с уравнением . Через точку проведем образующую и обозначим через точку ее пересечения с направляющей (рис. 18.6). Очевидно, что в плоскости точка имеет координаты и Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению .

Следствия.

1. Если образующая цилиндра параллельна оси то его уравнение имеет вид где – уравнение направляющей в плоскости

2. Если образующая цилиндра параллельна оси то его уравнение имеет вид где – уравнение направляющей в плоскости

Def. Цилиндрами второго порядка называются цилиндрические поверхности, направляющие которых являются кривыми второго порядка.

Среди всех цилиндров второго порядка выделим те, обрающие которых параллельны оси Согласно теореме 18.1. их уравнения не содержат аппликаты. Их изображения приведены на рис. 18.7 – 18.9.

Эллиптический цилиндр Рис. 18.7	Параболический цилиндр Рис. 18.8
Гиперболический цилиндр Рис. 18.9

Конические поверхности

Def. Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через данную точку и пересекающими данную линию (рис. 18.10). Эти прямые называются образующими конуса, точка – вершиной конуса, а кривая К – направляющей конуса. Def. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат задается уравнением

Рис. 18.10

(18.18)

Покажем, что если точка (отличная от начала координат) лежит на конусе второго порядка, то все точки прямой ( – начало координат) также лежит на конусе. Пусть – направляющий вектор прямой Согласно (15.2) координаты произвольной точки удовлетворяют соотношениям

Очевидно, что координаты точки удовлетворяют уравнению (18.18), т.е. точка лежит на поверхности конуса. Что и требовалось доказать.

Исследуем форму эллипса по его сечениям координатными плоскостями и плоскостями параллельными им.

1. Линия пересечения конуса второго порядка плоскостью задается уравнением

или (18.19)

Уравнение (18.19) задает пару пересекающихся прямых.

Аналогично можно установить, что плоскость пересекает конус второго порядка также по двум пересекающимся прямым.

2. Уравнения линий пересечения конуса второго порядка с плоскостями имеют вид или (18.20) Уравнение (18.20) задает эллипс с полуосями и , причем с возрастанием значение полуосей увеличивается. Изображение конуса

Рис. 18.11

второго порядка представлено на рис. 18.11.

Def. Если в уравнении (18.18) то сечения конуса второго порядка плоскостями – окружности. Такой конус называется круглым.