Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве

Уравнению первой степени на координатной плоскости соответствует в координатном простанстве уравнение

(14.1)

Th. 14.1

Каждое уравнение вида (14.1) определяет в пространстве плоскость наоборот, любая плоскость в координатном пространстве может быть задана уравнением (14.1)

Доказательство этой теоремы полностью моделирует доказательство соответсвующего утверждения для прямой на плоскости (проведите его самостоятельно, используя рис. 14.1).

Рис. 14.1

Рис. 14.2

Уравнение (14.1) называется общим уравнением плоскости, вектор – нормальным вектором плоскости.

Если плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору (рис. 14.1), то ее уравнение можно записать в виде:

(14.2)

Плоскость однозначно определяется точкой и двумя векторами и ( неколлинеарны). Векторы и называются направляющими векторами плоскости. Пусть – текущая точка плоскости радиус вектор точки радиус-вектор точки (рис. 14.2).

тогда и только тогда, когда векторы компланарны. А поскольку неколлинеарны, то можно разложить по этим векторам, т.е. имеет место равенство:

Учитывая, что получаем:

(14.3)

Уравнение (14.3) называется векторным уравнением плоскости.

Т.к. тоуравнение (14.3) в координатной форме принимает вид:

(14.4)

Уравнения (14.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.

Условие компланарности векторов можно выразить через смешанное произведение этих векторов: , или в координатной форме:

(14.5)

Уравнение (14.5) – уравнение плоскости, проходящей через точку с заданными направляющими векторами и

Плоскость однозначно определяется тремя точками не лежащими на одной прямой. В этом случае и – направляющие векторы плоскости Тогда из уравнения (14.5) получаем:

(14.6)

Уравнение (14.6) носит название уравнения плоскости, проходящей через три точки.

Пусть, в частности, известны точки, в которых плоскость пересекает оси координат: где (рис. 14.3) Тогда из уравнения (14.6) имеем:

Рис. 14.3

После раскрытия определителя получаем:

(14.7)

Уравнение (14.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Рассмотрим плоскости и Их взаимное расположение характеризуется углом между ними. Этот угол однозначно определяется углом между нормальными векторами этих плоскостей и Обозначим через - угол между нормальными векторами. Тогда:

(14.8)

Замечание. Обратим внимание, что угол между плоскостями не обязательно равен , он может быть равен и (рис. 14.4-14.5).

Рис. 14.4

Рис. 14.5

Таким образом, формула (14.8) определяет значение косинуса угла между плоскостями с точностью до знака. Косинус острого угла между плоскостями и может быть найден по формуле:

(14.9)

Заметим, что

.