Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в уравнении (13.4) то его можно переписать в виде Или, обозначая в виде:

(13.7)

Выясним геометрический смысл коэффициентов в уравнении (13.7).

Def. Углом наклона данной прямой к оси называется угол на который следует повернуть против хода часовой стрелки ось до ее совмещения с данной прямой (рис. 13.2, 13.3).

Если прямая параллельна оси то угол наклона этой прямой к оси принимается равным нулю.

Пусть и - две точки (рис. 13.4) на прямой Тогда из имеем:

(13.8)

Таким образом, коэффициент в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси и называется угловым коэффициентом прямой. В связи с этим, уравнение (13.7) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рис. 13.2

Рис. 13.3

Рис. 13.4

Очевидно, что ось прямая, заданная уравнением (13.7), пересекает в точке Поэтому параметр в уравнении прямой с угловым коэффициентом равен ординате точки пересечения прямой с осью

Другие виды уравнения прямой на плоскости

Положение прямой однозначно определяется точкой и вектором , который называется направляющим вектором прямой Пусть – радиус-вектор точки , а – радиус-вектор текущей точки прямой (рис. 13.5). тогда и только тогда, когда , т.е. или:

(13.9)

Уравнение (13.9) называется векторным уравнением прямой на плоскости.

В координатной форме уравнение (13.9) записывается в виде:

(13.10)

Уравнения (13.10) называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

Условие можно записать в координатной форме:

(13.11)

или

(13.12)

Уравнения (13.11) и (13.12) удобно использовать, если известна точка на прямой и направляющий вектор прямой . Уравнение(13.11) называют еще каноническим уравнением прямой. N. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку а) параллельно прямой

Рис. 13.5

б) перпендикулярно прямой

Решение.

а) т.к. искомая прямая параллельна прямой то ее нормальный вектор. На основании формулы (13.5) получаем:

Или после упрощения:

б) Т.к. искомая прямая перпендикулярна прямой то - направляющий вектор искомой прямой. На основании формулы(13.11) имеем:

Ответ: а) б) Прямая также однозначно определяется двумя точками и (рис. 13.6). В этом случае в качестве направляющего вектора можно взять вектор Тогда уравнения (13.11) и (13.12) принимают соответственно вид:

Рис. 13.6

(13.13)

(13.14)