Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора

Линейная зависимость (независимость) геометрических векторов определяется также, как и для векторов n-мерного векторного пространства (см. лекцию 7).

Th.10.1

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство.

Если один из векторов нулевой, то утверждение теоремы очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

Пусть и – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях и – линейно зависимы.

Пусть и – линейно зависимы, т.е. Тогда и – коллинеарны .

Следствия. Если и – коллинеарны и то

Th.10.2

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство.

Будем предполагать, что никакие два из них не коллинеарны, т.к. иначе доказательство очевидно (свойство линейно зависимых векторов).

Пусть компланарны. Отложим их от точки O. Проведем через концы вектора прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм (рис. 10.10)

Рис. 10.10

- коллинеарны Аналогично, Тогда:

Значит, линейно зависимы.

Пусть – линейно зависимы. Тогда , одновременно не равные нулю: Если, например, то Тогда, направлен вдоль диагонали параллелограмма со сторонами, вдоль которых направлены векторы и , т.е лежат в одной плоскости, а, значит, компланарны .

Th.10.3

Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство.

Предположим, что никакие три вектора некомпланарны, иначе утвержде­ние теоремы очевидно. Через точку D проведем три плоскости, параллельные парам векторов и и и (рис. 10.11). По аналогии с теоремой 10.2 имеем:

Таким образом,

– линейно зависимы . Следствие. Любой вектор в пространстве может быть разложен по трем некомпланарным векторам, т.е. представлен в виде их линейной комбинации. Def. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Рис. 10.11

Def. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть задан некоторый базис . Тогда любой вектор может быть разложен по этому базису, т.е. представлен в виде

(10.9)

Def. Коэффициенты этого разложения называют координатами вектора . Пишут

Очевидно, что и равны тогода и только тогда, когда

Th.10.4

Если и , то : 1. 2.

Доказательство вытекает непосредственно из формулы (10.9) и свойств линейных операций над векторами.

Замечание. Очевидно, что между множеством векторов и множеством векторов пространства можно установить взаимно однозначное соответствие. Поэтому все утверждения, касающиеся векторов n-мерного векторного пространства можно перенести на геометрические вектора.

N. Убедиться, что векторы образуют базис. Разложить вектор по этому базису.

Решение.

Таким образом, строки определителя линейно независимы, а значит, векторы линейно независимы, т.е. образуют базис. Представим вектор в виде линейной комбинации векторов

Подставим в данное соотношение координаты векторов и записав их для удобства как вектор-столбцы:

Значит, – искомое разложение.

Ответ: