Линейные операции над векторами и их свойства

Def. Пусть даны два вектора и . Из произвольной точки пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор , который называют суммой векторов и (рис. 10.3). Пишут:

Покажем, что вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть Тогда – параллелограмм. Аналогично, – параллелограмм – параллело­грамм , т.е. они определяют один и тот же вектор .

Рис. 10.3	Рис. 10.4	Рис. 10.5

Способ сложения векторов, изложенный выше (рис. 10.3), называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма (рис. 10.5).

Свойства сложения векторов.

1. (10.1) 2. (10.2) 3. (10.3) 4. (10.4)

Доказательство свойств 1-2 представлено на рис. 10.6, 10.7. Свойства 3-4 вытекают непосредственно из определения суммы векторов.

Def. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ;

2) .

Произведение на число 0 есть нулевой вектор. Пишут:

Рис. 10.6

Рис. 10.7

Рис. 10.8

Свойства умножения вектора на число.

1. (10.5) 2. (10.6) 3. (10.7) 4. (10.8)

Доказательство.

Свойство 1 очевидно. Докажем свойства 1-3.

1. Если один из векторов или нулевой, или , то формула (10.5) очевидна. Пусть для простоты и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо и взять и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна При формула (10.5) доказывается аналогично.

2. Если хотя бы одно из чисел равно нулю или – нулевой, то равенство (10.6) очевидно. Если одного знака, то векторы и коллинеарны и одинаково направлены. Поэтому:

При направление и сонаправлены с а при противоположно направлены с Таким образом, векторы и имеют равные модули и одинаково направлены, т.е. Аналогично, формула (10.6) доказывается, если разных знаков.

3. Формула (10.7) очевидна, если хотя бы одно из чисел равно нулю или – нулевой.

и .

Если одного знака, то направления векторов и сонаправлены с вектором . Если разных знаков, то векторы и противоположно направлены с вектором Таким образом, .

Def. Разностью векторов и называют вектор Геометрически вычитание векторов получается согласно рис. 10.9.

Рис. 10.9