Краткие выводы

Рыночной экономике имманентно присущи циклические колебания конъюнктуры, не сводимые к сезонным перепадам производства. Простые модели экономических циклов позволяют проследить за тем, как под воздействием отдельных конъюнктурообразующих факторов в национальной экономике возникают циклические колебания.

Модель взаимодействия мультипликатора и акселератора иллюстрирует многообразие возможных вариантов динамики национального дохода при экзогенном нарушении экономического равновесия.

Дополненная рынком денег модель взаимодействия мультипликатора и акселератора показывает, как посредством изменения предложения денег банковская система может влиять на конъюнктурные колебания, возникающие в реальном секторе.

Монетарная концепция экономических циклов объясняет их возникновение периодическими эндогенными и экзогенными нарушениями равновесия на денежном рынке.

Модель Калдора служит примером объяснения экономического цикла на основе действия эндогенных факторов. В ней циклические изменения экономической активности являются следствием изменения спроса и предложения реального капитала в различных фазах конъюнктурного цикла.

Особая роль субъективного фактора в периодической смене подъема спадом и спада подъемом раскрывается посредством моделей, имитирующих соперничество между трудом и капиталом за распределение национального дохода.

Совместное действие экзогенных и эндогенных, объективных и субъективных конъюнктурообразующих факторов объясняет наблюдаемое в действительности непостоянство длительности и структуры экономических циклов.

Математическое приложение 1: Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка30

Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида

x_t = F(x_t-1, x_t-2, , x_t-n,t), (1)

связывающими состояние объекта x_t в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (1) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения x_t при t = 0, 1,..., n – 1.

Подставляя начальные значения x_n-1, , x₁, x₀ и t = n в качестве аргументов функции в правой части (1), находим x_n; используя найденное значение и подставляя теперь x_n, x_n-1, , x₂, x₁ и t = n+1 в качестве аргументов функции, находим x_n+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t.

В 9.2 используются конечно-разностные уравнения вида x_t = a₁x_t-1 + a₂x_t-2 + f(t) – линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (1). Они называются однородными, если f(t) = 0 при любых t, неоднородными – в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения

x_t = a₁x_t-1 + a₂x_t-2 (2 )

используется так называемое характеристическое уравнение

² – a₁ – a₂ = 0. (3)

Обозначим его корни ₁, ₂ и запишем

.

В теории конечно-разностных уравнений³¹ доказывается, что при ₁  ₂ решение уравнения (2) описывается равенством

, (4)

где A₁ и A₂ – постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же ₁ = ₂ = , то решение имеет вид

. (5)

Решение уравнения (2) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (3).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.

1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (4); если оба корня положительны, то обе компоненты решения – монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (4).

2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (5).

3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: _1,2 = =   i.

Равенство (4) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: _1,2 = g(cos  ± sin), где g= |₁| = | ₂| = ; tg = /. Такое представление позволяет описать решение уравнения (2) равенством

, (6)

где B₁ и B₂ – постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1); если частота выражена в радианах, то период колебаний T = 2/.

На рисунке парабола AOB, описываемая уравнением , соответствует случаю D = = 0. Левее параболы располагается область, соответствующая случаю D > 0, правее – случаю D < 0.

Рисунок (к мат.прил.1)

Решение уравнения (2) называют равновесным, если значение x_t не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (2) можно убедиться, что x_t = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если x_t  0 при t  ; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (4) и (5) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как g = |₁| = | ₂|; при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a₂ > – 1. По теореме Виета ₁ ₂ = -a₂, так что условие a₂ > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство |a₁| < 2.

Систему можно заменить одним неравенством

или .

Последнему неравенству отвечают точки внутри угла ACB на рисунке.

Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства

–1 < a₂ < 1–|a₁|, (7)

которому соответствуют внутренние точки треугольника ACB.

Уравнение (9.2) имеет вид уравнения (2), при этом a₁ = C_y + ; a₂ = –.

Заметим, что C_y  0 и   0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

. (8)

Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид

.

При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров C_y и  и равенств (8) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (4) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер.

Условие устойчивости (7) теперь принимает вид

–1 < –  < 1– (C_y + ),

т.е. представляет собой систему неравенств

На рис. 9.2 устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.

Моделям, рассмотренным в 9.1.2, соответствует однородное конечноразностное уравнение вида

,

где m = l для уравнения (9.8) и m = – h для уравнения (9.9). Вследствие этого парабола AOB смещается (см. рисунок, правая часть).

Обозначим . Тогда уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению (9.2):

.

Таким образом, все приведенные выше условия относительно параметров C_y и  переносятся на параметры и ^*. Кривая, разделяющая области монотонного и колебательного решений, теперь описывается уравнением

.

Условие устойчивости принимает вид системы неравенств:

Графически при m > 0 это соответствует сдвигу всех построений на m единиц влево и на такую же величину вверх; значениям m < 0 соответствует сдвиг в противоположном направлении.