Краткие выводы

Посредством рынка капитала сбережения переводятся в инвестиции. Структура последних формируется в процессе оптимизации структуры имущества домашних хозяйств, в котором выделяются две составляющие: финансовые средства (деньги и облигации) и вложения в реальный капитал (акции). Совместное выравнивание спроса и предложения на всех кредитных рынках достигается благодаря гибкости взаимосвязанной системы ставок процента, выступающих в роли прокатных цен соответствующих капитальных активов. При одинаковых у всех инвесторов ожиданиях относительно развития конъюнктуры на рынке ценных бумаг структура вложений в реальный капитал (пакета акций) у всех избегающих риск инвесторов будет одинаковой. Различия их предпочтений относительно всевозможных комбинаций доходности и риска проявятся в пропорциях распределения имущества между финансовыми и реальными вложениями. В условиях инфляции рисковыми являются вложения не только в реальный капитал, но и финансовые. В то же время каждая составляющая имущества имеет свой источник риска. Поэтому финансовые и реальные вложения для инвесторов неодинаково взаимозаменяемы. Расхождения в оценке степени взаимозаменяемости исходят из их различного отношения к риску.

Теория портфеля лежит в основе некоторых современных концепций спроса на деньги (в частности, монетаристской концепции) и теорий ценообразования на рынке ценных бумаг. Ценообразование на финансовые инструменты определяет условия, на которых фирмы могут привлекать внешние денежные средства, а инвесторы повышать свое благосостояние. Кроме традиционной концепции ценообразования на рынке ценных бумаг, определяющей цену как сумму дисконтированных ожидаемых доходов, в настоящее время существуют модель САРМ, основанная на теории портфеля, и как дальнейшее ее развитие – модель АРТ.

Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из n разновидностей рисковых ценных бумаг

Для оценки оптимизации введем следующие обозначения: r_i – ожидаемая доходность i-й ценной бумаги; i=1, 2, , n; g_i – доля i-й ценной бумаги в портфеле; s_ij – ковариация между i-й и j-й ценными бумагами; r_p – ожидаемая доходность портфеля; σ_p – стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля.

В соответствии с теорией вероятности

Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отношение к доходности и риску: , где ψ – параметр предпочтения между риском и доходностью.

Задача. max при .

Решение. Воспользуемся функцией Лагранжа

где λ – сомножитель Лагранжа.

Условия максимизации в матричной форме имеют следующий вид:

. (1)

Обозначим буквой R уменьшаемое в равенстве (1), первый сомножитель вычитаемого (матрицу) – буквой C, а второй сомножитель (вектор) – буквой G. Тогда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде:

R – C G = 0  G = C^–1 R.

Определим обратную матрицу к матрице C. Для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, a_ij. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим c_i.

C^-1 =

В этой матрице .

Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений

Обозначив , получим следующую формулу для расчета оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле:

. (2)

Определим портфель с минимальным риском. Параметр ψ представляет собой тангенс угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, соответствующей оптимальному портфелю (см. рис. 5.13). Когда инвестор отдает предпочтение портфелю с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, поэтому ψ = 0. Следовательно, у такого портфеля g_i = c_i, т.е. последний столбец (строка) обратной матрицы C^–1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность и риск его будут

; (3)

. (4)

Для определения структуры портфеля, отвечающего другим требованиям инвестора, удобно использовать специфический показатель

.

Посредством показателей r_pmin, σ_pmin и  легко можно найти структуру портфеля, соответствующего конкретным требованиям инвестора.

Допустим, нужно сформировать портфель с заданной ожидаемой доходностью . В соответствии с равенствами (2) и (3)

(5)

Из равенства (5) определим, какому значению ψ соответствует желание инвестора иметь ожидаемую доходность портфеля, равную ,

. (6)

Подставив значение ψ, полученное из выражения (6), в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной ожидаемой доходностью.

Для определения структуры портфеля с заданной степенью риска примем во внимание, что

(7)

Первое слагаемое в выражении (7) – вариация портфеля с минимальным риском (см. равенство (4)). После преобразований второе слагаемое можно представить в виде

,

а третье слагаемое равно нулю. Поэтому

. (8)

Подставив выражение (8) в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной степенью риска.

Пример. На основе наблюдений за фондовым рынком для трех видов акций установлены характеристики, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Акция	, %	i %	Корреляция ρij			Ковариация sij
			А	В	С	А	В	С
А	10	14	1	0,5	– 0,35	196	98	– 196
В	15	14	–	1	0,3		196	168
С	25	40	–	–	1			1600

Составим из этих акций портфель: а) с минимальным риском; б) максимизирующий функцию полезности ; в) с ожидаемой доходностью 17 %; г) с риском _p = 18 %. В данном примере матрицу системы уравнений (1) можно представить в виде табл. 2, а обратную к ней – в виде табл. 3.

Таблица 2

	А	В	С
А	392	196	–392	1
В	196	392	336	1
С	–392	336	3200	1
	1	1	1	0

Таблица 3

0,00339	–0,004	0,00062	0,69882
–0,0040	0,00508	–0,00107	0,15469
0,00062	–0,0010	0,00045	0,1465
0,69882	0,15469	0,1465	–246,83

Последний столбец табл. 3 указывает на то, что в портфеле с минимальным риском должно быть акций, %, A – 69,88, акций B – 15,47 и С – 14,65. Обратим внимание на то, что акций A в портфеле оказалось значительно больше, чем B, хотя по сочетанию доходности и риска первые уступают вторым. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 12,97 % при σ_p= 11,11 %.

Для определения структуры портфеля, максимизирующей заданную функцию полезности, вычислим b_i:

Теперь по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля

g_A = 0,69882 – 40∙0,01077 = 0,268;

g_B = 0,15469 + 40∙0,00931 = 0,527;

g_C = 0,1465+40∙0,001462 = 0,205.

Ожидаемая доходность этого портфеля равна 15,7 %, а σ_p = 13,35 %.

Для нахождения структуры портфеля с заданной ожидаемой доходностью 17 % определим значение  в условиях рассматриваемого примера:

 = –0,0107710 + 0,00930815 + 0,00146225 = 0,06848.

По формуле (6) определим значение , соответствующее желанию инвестора иметь r_p= 17 %,

.

И снова по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля

g_A = 0,69882 – 58,84•0,01077 = 0,0651;

g_B = 0,15469 + 58,84•0,00931 = 0,7024;

g_C = 0,1465 + 58,84•0,001462 = 0,2325.

Портфель с такой структурой имеет = 17%, _p= 15,55%.

И наконец, определим структуру портфеля с риском _p = 18%. Такому желанию инвестора соответствует

.

Тогда

g_A = 0,69882 – 76,54∙0,01077 = –0,126;

g_B = 0,15469 + 76,54∙0,00931 = 0,8671;

g_C = 0,1465 + 76,54∙0,001462 = 0,2584.

Такой портфель имеет = 18,21%, _p= 18%.