Рынок денег

№28.

1) Из балансового уравнения системы коммерческих банков найдем величину депозитов населения:

D = 0,2D + 0,15D + 65  0,65D = 65  D = 100,

Из балансового уравнения Центрального банка найдем долю наличных денег в сумме кредитов, предоставленных коммерческими банками:

60 = 0,2100 + 0,15100 + 65   = 0,385.

Следовательно, наличными население держит 0,38565 = 25 ден. ед.

Тогда общее предложение денег равно

M = D + MH =100 + 25 = 125.

Спрос на деньги равен:

l = l_сд + l_пр + l_им = 0,25y + 36/(i–1).

На рынке денег будет равновесие, если

125 = 0,25y + 36/(i–1), или y = 500 – 144/(i–1);

это есть уравнение линии LM. При i = 5 величина y = 464.

2) По формуле денежного мультипликатора (см. формулу (4.4) учебника) определим новое предложение денег:

.

Новое уравнение линии LM:

143,5 = 0,25y + 36/(i–1) или y = 573,5– 144/(i–1).

При i = 5 величина y = 537,5. Следовательно, y = 537.5–464 = 73.5.

По формуле (4.3) учебника найдем, что возросшая сумма кредитов равна

,

т. е. K = 83,5 – 65 = 18,5.

№29.

1) Обозначим 1/n – число конвертирований облигаций в наличные деньги.

Тогда 50/n – трансакционные издержки за месяц, а 10000 n/2 – средний

запас наличных денег. Альтернативные издержки держания кассы равны:

10000n0,04/2 = 200n. Оптимальное значение n определяется из:

TC(n) = 50/n + 200n  min.

.

Значит, средние кассовые остатки равны MH = 0,5100000,5 = 2500.

2) При i = 4%, деньги совершали 10000/2500 = 4 оборота в месяц, или 48 оборотов в год. При i = 9%:

, если n* = 1/3.

При этом средняя касса равна 10000/6 = 1666,67, т. е. денежная единица делает 6 оборотов в месяц, или 72 в год. Следовательно, скорость оборота денег возросла в 1,5 раза.

№30.

Критическая ставка процента превращает ожидаемый доход, состоящий из купонного дохода и изменения курса облигации, в нуль. Поэтому критическая ставка процента для каждого индивида определяется из равенства i_nB_n + B^e – i_nB_n/i_k = 0. Расчеты по этой формуле дают следующие значения: 0,1 для Олега, 1/11 для Семена и 1/12 для Ильи.

№31.

1) На рынке денег достигается равновесие при

150 + 5i = 0,042900 + 0,012900 + 47 – 2i  i = 6.

2) Множество сочетаний y, i, обеспечивающих равновесие на рынке денег, определяется из равенства 150 + 5i = 0,05y + 47 – 2i, или y = 2060 + 140i – уравнение линии LM.

3) При снижении скорости обращения денег в 2.5 раза равновесие на рынке

денег достигается при 150 +5i =0,1y + 0,01y + 47 – 2i  y = 936,3 + 63,6i, т. е. линия LM сместится влево и уменьшит угол наклона к оси абсцисс. Это объясняется

тем, что более крутым стал график l_сд = l_сд (y).

При снижении 1/4 уровня цен уравнение линии LM определится из равенства (150 + 5i)/0,75 = 0,05y + 47 – 2i  y = 3060 + 173,3i, т. е. линия LM сместится вправо из–за увеличения реального предложения денег.

4) Поскольку при i = 6 облигацию можно было купить за 600 ден. ед., то годовой доход на нее составляет 6000,06 = 36 ден. ед. В ситуации 3) при y = 2900 ставка процента определится из равенства 2900 = 1791 + 63,63i  i = 17,43%. Следовательно, облигацию можно продать за 36/0,1743 = 206.5 ден. ед.

№32.

а) Подставим известные в задаче данные в формулу (4.4) учебника:

По формуле (4.2) учебника найдем величину депозитов: D = 17006,8. Следовательно, плановая величина избыточных резервов коммерческих банков равна: D = 299,3.

б) При отсутствии избыточных резервов у коммерческих банков ( = 0) денежный мультипликатор принимает значение (1 + 0,20,9)/(0,1 + 0,20,9) = 4,2. Тогда M1 = 50004,2 = 21071,4, т. е. M = 1071,4.

№33.

Объем спроса на деньги по мотиву предосторожности определяется как остаточная величина из уравнения равновесия на рынке денег: 900 = 0,251000 + 48008 + l_пр  l_пр = 50. Значит, предельная склонность к предпочтению ликвидности по мотиву предосторожности равна 0,05.

№34.

1) Величина НД, обеспечивающая в условиях задачи равновесие на денежном рынке при P = 1, определяется из уравнения 250 = 0,1y + 8(25 – 12)  y* = 1460.

2) Если уровень цен станет равным 1,25, то номинальная величина НД будет 1,251460 = 1825 и спрос на деньги для сделок составит 0,11825 = 182,5 ден. ед. Предельная склонность к предпочтению денег в качестве имущества в номинальном выражении будет равна 1,258 = 10 ден. ед., а общи спрос на деньги как имущество: 1013 = 130 ден. ед.

3) Ставка процента, необходимая для восстановления равновесия на денежном

рынке после повышения уровня цен, находится из уравнения 250/1,25 = 0,11460 + 8 (25 – i)  i = 18,25. После восстановления равновесия на денежном рынке спрос домашних хозяйств на деньги для сделок составит 0,11825 = 182,5 ден. ед., а в

качестве имущества – 10 (25 – 18.25) = 67,5.

№35.

1) Величина минимальных резервов банка в исходном состоянии: 5000,15 + 2500,1 = 100. После переоформления: 2500,15 + 5000,1 = 87,5. Прирост избыточных резервов банка (его кредитных средств): 100 – 87,5 = 12,5 млн р.

2) Так как срочные депозиты в банке сократятся на 0,4500 =200 млн р., то прирост избыточных резервов составит: 0,1200 = 20 млн р.

№36.

1) Да, так как в условиях задачи избыточные резервы банка позволяют

ему предоставить дополнительный кредит в размере 100/0,2 = 500 млн р.

2) За счет сокращения депозитов на 500 млн р. избыточные резервы коммерческого банка возросли до 150 млн р., и поэтому он может предоставить дополнительный

кредит в размере 150/0,2 = 750 млн р. После этого его баланс примет следующий вид.

Актив		Пассив
Обязательные резервы	380	Бессрочные депозиты	1750
Избыточные резервы	0	Срочные депозиты	300
Облигации	120	Собственный капитал	50
Кредиты	1600
Всего	2100	Всего	1850

№37.

1) Ожидаемые значения:

Следовательно:

Структура портфеля		p
100% акций A	13,0	15,68
100% акций B	10,0	11,83
50% A + 50% B	11,5	9,82

2)

Условие минимизации риска:

Оптимальная доля акций A: n_A = 280/772 = 0,363. Акций B соответственно 0,637.

Тогда r_p =130,363 + 100,637 = 11,1; _p = (0,363246 + 0,637140)^0,5 = 9,44.

№38.

Представим доходность портфеля как функцию от его структуры:

r_p = 3n_I+ (1- n_I)2 = 2 + n_I, (1)

где n_I – доля первого вида ценных бумаг.

Выразим степень риска портфеля как функцию от его структуры:

(2)

Найдем n_I из равенства (1): n_I = r_p – 2 и подставим найденное значение в равенство (2):

(3)

Подставим значение (3) в функцию полезности:

.

Она достигает максимума при dU/dr = 51–18r_p = 0; отсюда _p =17/6; n_I = 5/6;

n_II = 1/6.

№39.

1) Дисперсия риска портфеля из двух акций с независимыми ожидаемыми

доходностями определяется по формуле . Доли акций A и B в портфеле, имеющем минимальный риск, определяются по формулам

.

Поэтому риск такого портфеля, измеренный стандартным отклонением, равен

.

2) Поскольку доля каждой акции в портфеле с минимальным риском не зависит от доходности акций, то инвестор в соответствии со своей функцией полезности не изменит структуру портфеля.

№40.

Риск портфеля, составленного Федором, равен _p = n_A_A; так как _p = 2, а _A = 4, то n_A = 0,5. Ожидаемая доходность такого портфеля определяется по формуле

№41.

1) Текущую ценность облигации можно определить по формуле

2) Если бы у облигации был годовой купон 1000 р., так как рыночная цена купонной облигации совпадает с ее номиналом, когда d/B = i.

№42.

1) При i = 20%текущая ценность облигации равна 30/0,2+ (150 – 30/0,2)/1,2⁵ = 150, При i = 15% соответственно 30/0,15 + (150 – 30/0,15)/1,15⁵ = 175, т. е. текущая ценность облигации Константина возросла на 25 тыс. р.

2) Ценность вложений в облигации к моменту их гашения определяется по формуле

.

В случае купонного дивиденда (z = const)

.

При i = 20% Константин имел бы 30/0,2(1,2⁵ – 1) + 150 = 373,2. При i = 15% он будет иметь (30/0,15)(1,15⁵ – 1) + 150 = 352,2. Таким образом, накопления Константина к моменту гашения облигации уменьшились на 21 тыс. р.

3) Нет, так как при любой ставке процента к концу 1-го года Константин будет иметь 180 тыс. р.: (30/0,2)(1,2 – 1) + 150 =180; (30/0,15)(1,15 – 1) + 150 = 180.

№43.

а) Текущая ценность облигации равна 10/0,08 + (100 – 10/0,08)/1,08⁸ = 111.5;

за 3 года до гашения – 10/0,08 +(100 – 10/0,08)/1,08³ = 105,2.

б) При i = d/B_n рыночный курс облигации всегда равен ее номиналу, т. е. B₀ = B₅ = 100.

в) Текущая ценность облигации равна 6/0,08 + (100 – 6/0,08)/1,08⁸ = 88.5;

за 3 года до гашения – 6/0,08 +(100 – 6/0,08)/1,08³ = 94,8.

№44.

1)

	t0	t1	t2	t5	t8
BI	111,5	110,4	109,3	105,2	100
BII	103,6	100
BIII	100	100	100	100
BIV	96,4	100
BV	88,5	89,6	90,8	94,9	100

2) (рис. )

№45.

Вычислим ожидаемые доходности

= (20 - 8 + 10 + 5 + 25 + 22 - 5 + 15 + 6)/10 = 9,

= (- 2 + 12 - 3 + 5 + 15 + 12 + 5 + 10 - 4)/10 = 5.

Стандартные отклонения при n наблюдениях определяются по формуле

Вычислим ковариацию: cov(r_A,r_B) = 11 (– 7) + (– 17) 7 + 1 (– 8) + 1610 + 137 + 6(– 5) + (– 9)5 + (– 3)(– 9)/10 = – 0,1. Соответственно коэффициент корреляции равен: 0,1/(11,427,01) = 0,00125.

Теперь можно определить долю акций фирмы A в портфеле с минимальным риском:

n_A = (49,11 – 11,427,010,00125)/(30,44 + 49,11 – 2 11,427,010,00125) = 0,273.

Тогда n_B = 1 – 0,273 = 0,727. Ожидаемая доходность такого портфеля равна

= 0,2739 + 0,7275 = 6,1; а его стандартное отклонение

_p = [0,273²130,4 + 0,727²49,1 + 20,2730,727( - 0,1)]^0,5 = 5.97.

№46.

Найдем множество всевозможных портфелей из двух акций. Для этого решим

уравнение вариации доходности акции A относительно ее доли в портфеле:

Определим ожидаемую доходность портфеля:

= 13n_A + 18 (1 – n_A) = 18 – 5n_A.

С учетом найденного значения n_A:

(1)

Формула (1) описывает множество всевозможных портфелей из двух данных акций.

Для инвестора, не склонного к риску, эффективной областью выбора является подмножество, получающееся при сложении обоиз слагаемых в выражении (1), так как только в этом случае с ростом риска увеличивается ожидаемая доходность

портфеля.

Определим теперь область выбора всевозможных структур имущества, состоящего из

рассматриваемого портфеля и ссуды (заимствования) на денежном рынке. Для этого

представим ожидаемую доходность имущества в виде функции от доходности и риска портфеля:

. (2)

Уравнение (2) описывает линию CML. Найдем точку касания множеств (1) и (2):

.

С учетом выражения (1):

Тогда r_p = 14,45 и n_A = 0,6878; n_B = 1 – 0,6878 = 0,3122; и уравнение линии CML принимает вид

. (2а)

Из уравнения (2а) следует ; поэтому функцию полезности инвестора можно представить так:

.

Она достигает максимума при

Риск имущества определяется долей портфеля: .

Поэтому = 3,33/2,8686 = 1,16. Это означает, что инвестор 0,16-ю часть своего имущества взял в кредит и все свое имущество держит в виде портфеля, в котором доля акций фирмы A равна 68,78% и фирмы B – 31,22%.

№47.

а) Обозначим долю сбережений, используемую на покупку акций A и B соответ­ственно n_A и n_B. Тогда доля ссужаемых или занимаемых инвестором денег равна

(1 – n_A – n_B). Задача инвестора в общем виде:

при

.

Или в заданных условиях:

при 13 + 3n_B = 6.

Решим задачу посредством функции Лагранжа:

Условия минимизации:

Из условий 1) и 2) следует n_A = 0,66n_B. Подставим это значение n_A в условие 3) и найдем n_B:

6 = 130,66n_B + 3n_B  6 = 11,58n_B  n_B = 0,518; тогда n_A = 0,5180,66 = 0,342.

Оставшиеся 14% сбережений следует отдать в ссуду на денежном рынке.

б) Для выявления доходности рыночного портфеля определим доли акций A и B в рыночном портфеле на основе следующих рассуждений. В целом в этот портфель вложено 0,86 всех сбережений. Следовательно, доля акций A равна 0,342/0,86 = 0,4, а доля акций B – 0,6. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 0,418

+ 0,68 = 12 при вариации 0,4²10,24 + 0,6²1,5625 = 2,2.

IS–LM модель

№48.

1) S = y – C; значит, S = 0,4y – 50, Тогда IS: 0,4y – 50 = 200 – 20i, или i =12,5 – 0,02y. На финансовых рынках равновесие достигается при 0,4y + 500 – 50i = 400; уравнение линии LM: i = 0,008y + 2. Условие совместного равновесия: 12,5 – 0,02y = 0,008y + 2  y* = 375; i* = 5; I* =100; C* = 275; l_сд* = 150; l_им* = 250.

2) Теперь при каждом уровне дохода объем сбережений сокращается на 50 ед., т. е. S = 0,4y – 100, и условие равновесия на рынке благ принимает вид 0,4y – 100 = 200 – 20i; IS: i = 15 – 0,02y. Условие равновесия на денежном рынке не меняется. Поэтому условие совместного равновесия: 15 – 0,02y = 0,008y + 2  y* = 464,3; i* = 5,7; I* = 85,7; C* = 328,6. Следовательно, I = 85,7 – 100 = – 14,3; C = 328,6 – 275 = 53,6.

3) Поскольку C_y^v = 0,6, а G = T_yy = 50, то на рынке благ достигается равновесие при y = 50 + 0,6(y – 50) + 200 – 20i + 50  i = 13,5 – 0,02y. Подставив это значение i в уравнение линии LM, найдем равновесное сочетание значений i, y: 13,5 – 0,02y = 0,008y + 2  y* = 410,7; i* = 5,3. Соответственно I* = 94,3; C* = 266,4. Следовательно, I = 94.3 – 100 = – 5,7; C = 266,4 – 275 = – 8,6.

№49.

1) Поскольку объем инвестиций не зависит от ставки процента, то экономика находится в инвестиционной ловушке. Величина эффективного спроса определяется из равенства I = S: 0,25y =15  y* = 60 независимо от величины ставки процента. 2) В состоянии инвестиционной ловушки изменение предложения денег не влияет на величину эффективного спроса.

3) В этом случае величина эффективного спроса определяется из равенства 0,25y = 20  y* = 80, т. е. y = 20.

№50.

1) Покупка облигаций населением не меняет пропорцию распределения дохода домашних хозяйств между потреблением и сбережением. Следовательно, спрос частного сектора на рынке благ не изменится. В этом случае линия IS сместится вправо. Рост ставки процента объясняется двумя причинами: а) с увеличением предложения облигаций снижается их курс и повышается ставка процента; б) по мере роста НД, вызванного дополнительными государственными расходами, увеличивается спрос на деньги, что при заданном их предложении повысит ставку процента.

2) Если дополнительные государственные расходы финансируются за счет увеличения задолженности Центральному банку, то растет денежная база, а затем и количество находящихся в обращении денег. Поэтому в данном случае обе линии сдвинутся вправо.

№51.

Событие	на каком рынке отобразится	график какой функции и как изменится	какой из графиков IS-LM модели и куда сместится	как изменится эффективный спрос	как изменится ставка процента
а	благ	S, положе	IS 	+	+
б	благ	I, вправо	IS 	+	+
в	денег	lсд, круче	LM 	–	+
г	денег	М, вправо	LM 	+	–
д	денег	lим, влево	LM 	+	–
е	благ	S, круче	IS 	–	–

№52.

а) В условиях задачи равновесие на рынке благ будет при

y = 0,8(y – 0,2y) + 1000 – 90i + 800  y = 5000 – 250i. (1)

Условие сбалансированности денежного рынка:

500 = 0,25y – 125i. (2)

Из совместного решения уравнений (1) и (2) находятся равновесные значения ставки процента и эффективного спроса: i* = 4; y* = 4000. При установленной ставке процента доходы государства 800 ед., т. е. бюджет полностью сбалансирован.

б) С учетом ставки подоходного налога мультипликатор автономных

расходов равен

.

Следовательно, если бы денежный рынок не снижал действие мультипликативного эффекта, то при увеличении государственных расходов на 360 эффективный спрос возрос бы на 2,778360 = 1000.

Определим приращение эффективного спроса при взаимодействии рынков благ и

денег:

0,36y = 2160 – 90i  y = 6000 – 250i. (1a)

Совместное решение уравнений (1а) и (2) дает: i* = 5,33; y* = 4666,7, т. е. y = 666,7. Следовательно, эффект торможения равен 1000 – 666,7 = 333,3.

№53.

1) Так как известна желаемая величина НД, то из условия равновесия на денежном рынке можно определить, какова в заданных условиях будет ставка процента:

500 = 0,253500 – 62,5i  i* = 6.

Из условия равновесия на рынке благ при такой ставке процента найдем искомую ставку подоходного налога:

3500 = 0,83500 (1 – T_y) + 900 – 506 + 800  T_y = 0,25.

2) В этом случае G = 3500T_y, и тогда условие равновесия на рынке благ приобретает вид: 3500 = 0,83500 (1 – T_y) + 900 – 506 + 3500T_y, из которого следует, что

T_y = 0,5714; G = 2000.

№54.

1) Для определения функции совокупного спроса решим уравнение линии IS относительно i: 4 – 40i = 0,2y  i = 0,1 – 0,005y и подставим найденное выражение в уравнение линии LM: 24/P = 1,5y – 100(0,1 – 0,005y) y = 5 + 12/P.

2) При P = 1 совокупный спрос равен 12 + 5 = 17; при P = 2 соответственно 6 + 5 = 11. Следовательно, совокупный спрос снизится на 6 ед.

Найдем ставку процента при P = 1 и P = 2 из системы уравнений линий IS и LM:

№55.

Определим предельную склонность домашних хозяйств к сбережению:

S_y = 1 – C_y – T_y = 1 – 0,4 – 0,25 = 0,35.

Из условия равновесия на рынке благ выведем уравнение линии IS:

S + T = I + G  0,6y = 178,2 – 4,8i  y = 297 – 8i.

После увеличения государственных расходов уравнение линии IS примет вид

0,6y = 198,2 – 4,8I  y = 330,3 – 8i.

Следовательно, расстояние сдвига линии IS равно 330,3 – 297 = 33,3.

Для получения функции совокупного спроса определим уравнение линии LM:

60/P = 0,04y + 60 – i. Выразим i из уравнения линии IS: i = 37,125 – 0,125y и подставим его в уравнение линии LM: 60/P = 0,04y + 60 – 37,125 + 0,125y  y₀ = 363,6/P – 138,6. Соответственно после увеличения государственных расходов

IS₁: i = 41,288 – 0,125y;

LM₁: 60/P = 0,04y + 60 – 41,288 + 0,125y  y₁ = 363,6/P – 113,3.

Следовательно, сдвиг кривой совокупного спроса равен 138,6 – 113,3 = 25,3.

№56.

1) Из условия равновесия на рынке благ определим равновесную ставку процента:

0,460 = 20 + 12/i  i* = 3. Тогда условие равновесия на рынке денег примет вид

81/P = 0,160 + 96/(3 – 1)  P* = 1,5.

2) При удвоении скорости обращения денег:

81/P = 0,260 + 96/(3 – 1)  P* = 1,35.

При сокращении количества находящихся в обращении денег:

40,5/P = 0,160 + 96/(3 – 1)  P* = 0,75.

№57.

Определим функцию сбережений: S = y – 50 – 0,5y = – 50 + 0,5y.

Из условия равновесия на рынке благ найдем ставку процента:

0,5y – 50 = 200 – 25i  i = 10 – 0,02 y.

Тогда условие равновесия на рынке денег при P = 1,5 имеет вид

M/1,5 = 0,1y + 24 – 2(10 – 0,02y), из которого следует M = 6 + 0,21y.

№58.

1) Из условия равновесия на рынке благ выразим ставку процента:

0,4y – 50 = 200 – 20i  i = 12,5 – 0,02y.

Необходимое количество денег определится из условия равновесия на

денежном рынке:

M = 0,4375 + 500 – 50(12,5 – 0,02375 )  M = 400.

2) Определяется из равенства M = l:

450/P = 0,4375 + 500 – 50(12,5 – 0,02375 )  P = 1,125.

3) l_сд = 1,1250,4375 = 168,75; так как i = 12,5 – 0,02375 = 5, то

l_им = 1,125(500 – 505) = 281,25.

№59.

1) .

2)

Распределение денег между двумя направлениями до увеличения денег:

Распределение денег между двумя направлениями после увеличения денег:

№60.

В состоянии ликвидной ловушки изменение уровня цен не влияет на величину эффективного спроса. При i = 2 величина эффективного спроса равна 500 – 502 = 400. Поэтому y^D = 400.

№61.

Кривая совокупного спроса тоже сместится вправо, но на меньшее расстояние, чем линия IS, и ее наклон к оси абсцисс уменьшится. Увеличение государственных расходов повысит эффективный спрос на блага. В коротком периоде на рынке благ возникнет дефицит и уровень цен повысится. Из – за уменьшения реального количества денег кривая LM сместится вправо. Этим объясняется относительно меньший сдвиг кривой совокупного спроса. Уменьшение ее наклона объясняется тем, что после сдвига линии IS последняя стала пересекать кривую LM на более крутом ее участке, и в результате проекция скольжения кривой LM по линии IS при изменении уровня цен становится более пологой. За этим стоят следующие экономические явления. Увеличение крутизны кривой LM отражает рост предельной ценности денег (ускорение роста ставки процента) по мере сокращения реального количества денег вследствие повышения уровня цен. Рост ставки процента сокращает инвестиции и через мультипликативный эффект в еще большей мере эффективный спрос. Поэтому эластичность совокупного спроса по уровню цен возрастает.

№62.

Для алгебраического анализа запишем условия равновесия на обоих рынках в приращениях:

1) В случае финансировании дополнительных расходов государства за счет облигаций dM = 0 и dT = 0. Из второго равенства следует: . Подставив это выражение в первое равенство, получаем:

. (1)

Тогда

(2)

2) При увеличении задолженности центральному банку dT = 0. Поэтому из системы уравнений:

находим

(3)

(4)

3) При финансировании расходов государства за счет налогов dM = 0 и тогда

; (5)

. (6)

Из сравнения выражений (1), (3) и (5) видно, что прирост эффективного спроса наибольший в случае займа государства у центрального банка и наименьший при увеличении налогов. Из сравнения выражений (2), (4) и (6) видно, что ставка процента повышается больше при выпуске облигаций, чем при повышении налогов, а при займе у центрального банка может произойти как повышение, так и понижении ставки процента.

(рис. ) Прирост государственных расходов смещает линию IS вправо (IS₀  IS₁). Когда G финансируется за счет облигаций, тогда новое равновесие установится в точке е₁. В случае займа у центрального банка кроме линии IS вправо смещается и линия LM (LM₀  LM₁); новое равновесие представляет точка е₂. При увеличении налогов линия LM остается на месте, а линия IS после первоначального сдвига IS₀  IS₁ совершает возвратное движение IS₁  IS₂, отражая сокращение потребления домашних хозяйств вследствие уменьшения располагаемого дохода; новое равновесие представляет точка е₃.