9.2. Модель взаимодействия мультипликатора и акселератора

Эта модель основывается на кейнсианской концепции функционирования макроэкономических рынков и описывает процесс перехода от одного равновесного состояния к другому после изменения экзогенных параметров, дополняя тем самым анализ сравнительной статики.

В 3.3 этот процесс был представлен в виде мультипликативного эффекта приращения автономных расходов; при этом предполагалось, что восстановление равновесия происходит мгновенно и существующий объем избыточных производственных мощностей достаточен для полного удовлетворения возросшего в результате действия мультипликатора эффективного спроса. Оба эти ограничения снимаются в модели взаимодействия мультипликатора и акселератора. Она является динамической (содержит переменные, относящиеся к разным периодам) и учитывает необходимость осуществления индуцированных инвестиций при исчерпании наличных производственных мощностей. Индуцированные инвестиции, становясь составляющей совокупного спроса, порождают очередной мультипликативный эффект, который снова увеличивает эффективный спрос и побуждает тем самым к новым индуцированным инвестициям.

Несмотря на то что в модели время учитывается в явном виде, она остается краткосрочной: приращение объема инвестиций, как и в статических моделях, увеличивает только совокупный спрос; воздействие инвестиций на совокупное предложение через вступление в строй новых производственных мощностей не учитывается; это ограничение снимается в моделях экономического роста.

Вернется ли экономика в этих условиях к равновесию после экзогенного импульса или нет, будет ли процесс приспособления к новой обстановке монотонным или колебательным – это предмет исследования рассматриваемой модели.

9.2.1. Модель Самуэльсона–Хикса18

Модель Самуэльсона–Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен.

Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде

C_t = C_a,t + C_y y_t-1,

где C_a – автономное потребление.

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде

.

На рынке благ установится динамическое равновесие, если

, (9.1)

где A_t = С_a,t + I_a,t + G_t.

Уравнение (9.1) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

При фиксированной величине автономных расходов ( A_t = A= const ) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е. , где n – число периодов с неизменной величиной автономных расходов.

Из уравнения (9.1) следует, что = A/(1– C_y) .

Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.

Освободимся от неоднородности в уравнении (9.1). Значения y_t и удовлетворяют равенству (9.1), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:

, (9.2)

где .

Так как y_t = + y_t, то направление изменения y_t определяется направлением изменения y_t.

Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений¹⁹ следует, что характер изменения y_t зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен , то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины мультипликатора и акселератора.

Если , то изменение y_t происходит монотонно; при оно будет колебательным. Следовательно, график функции , изображенный на рис. 9.3, отделяет множество сочетаний C_y, , обеспечивающих монотонное изменение y_t, от множества комбинаций из значений C_y, , приводящих к колебаниям y_t.

рис. 9.3.

Устремляется ли значение y_t к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если  < 1, то равновесие установится на определенном уровне. При  > 1 нарушенное 1 раз равновесие больше не восстановится. Когда  = 1 , тогда значение y_t будет колебаться с постоянной амплитудой.

В результате все множество сочетаний C_y и  оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 9.3. Если значения C_y и  указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение y_t монотонно устремится к новому равновесному уровню = A₁/(1– C_y). При значениях C_y и  , находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений C_y и , расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки B на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений C_y,  указывают на область III, тогда динамика y_t приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений C_y,  в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия y_t монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания y_t.

Пример 9.1. Заданы функция потребления домашних хозяйств: и функция спроса предпринимателей на автономные и индуцированные инвестиции: . В течение некоторого времени до периода t₀ включительно экономика находится в динамическом равновесии при спросе предпринимателей на автономные инвестиции в объеме 250 ден. ед. Это значит, что в каждом периоде производилось 1500 ед. благ, из которых 50 + 0,8∙1500 = 1250 потребляют домашние хозяйства. С периода t₁ предприниматели решили, что объем автономных инвестиций должен равняться 350 ден. ед. Как в результате реализации этого решения будет меняться величина совокупного спроса (следовательно, и национального дохода) при четырех различных сочетаниях C_y, , представленных на рис. 9.4 точками a (C_y = 0,8;  = 0,25), b (C_y = 0,8;  = 0,75), c (C_y = 0,8;  = 1,2) и d (C_y = 0,8;  = 2,3), показано в табл. 9.1–9.4.

Рис 9.4.

Таблица 9.1.

Динамика национального дохода при C_y = 0,8;  = 0,25

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	25	1705
3	1414	350	26,25	1790,3
4	1482,2	350	21,31	1853,5
5	1532,8	350	15,82	1898,6
6	1568,9	350	11,28	1930,2
7	1594,1	350	7,89	1952,0
8	1611,6	350	5,46	1967,1
9	1623,7	350	3,76	1977,4
10	1631,9	350	2,59	1984,5
11	1637,6	350	1,77	1989,4
12	1641,5	350	1,22	1992,7
13	1644,2	350	0,83	1995,0
14	1646,0	350	0,57	1996,6
15	1647,3	350	0,39	1997,7
16	1648,1	350	0,27	1998,4
17	1648,7	350	0,18	1998,9
18	1649,1	350	0,13	1999,2
19	1649,4	350	0,09	1999,5
20	1649,6	350	0,06	1999,6

Таблица 9.2.

Динамика национального дохода при C_y = 0,8; h = 0,75

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	75	1755
3	1454	350	116,3	1920,3
4	1586,2	350	123,9	2060,1
5	1698,1	350	104,9	2153,0
6	1772,4	350	69,7	2192,1
7	1803,7	350	29,3	2183,0
8	1796,4	350	-6,8	2139,5
9	1761,6	350	-32,6	2079,0
10	1713,2	350	-45,4	2017,9
11	1664,3	350	-45,9	1968,4
12	1624,7	350	-37,1	1937,6
13	1600,1	350	-23,1	1927,0
14	1591,6	350	-8,0	1933,7
15	1596,9	350	5,0	1951,9
16	1611,5	350	13,7	1975,2
17	1630,2	350	17,5	1997,6
18	1648,1	350	16,8	2014,9
19	1662,0	350	13,0	2024,9
20	1669,9	350	7,5	2027,4
21	1671,9	350	1,9	2023,8
22	1669,1	350	-2,7	2016,3
23	1663,1	350	-5,6	2007,5
24	1656,0	350	-6,7	1999,3
25	1649,5	350	-6,1	1993,4
26	1644,7	350	-4,5	1990,2
27	1642,2	350	-2,4	1989,8
28	1641,8	350	-0,3	1991,5
29	1643,2	350	1,3	1994,5
30	1645,6	350	2,2	1997,9

Таблица 9.3.

Динамика национального дохода при

C_y = 0,8; h = 1,2

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	120	1800
3	1490	350	240	2080
4	1714	350	336	2400
5	1970	350	384	2704
6	2213,2	350	364,8	2928
7	2392,4	350	268,8	3011,2
8	2459,0	350	99,8	2908,8
9	2377,0	350	-122,9	2604,2
10	2133,3	350	-365,6	2117,8
11	1744,2	350	-583,7	1510,5
12	1258,4	350	-728,7	879,7
13	753,8	350	-756,9	346,9
14	327,5	350	-639,5	38,0
15	80,4	350	-370,6	59,8
16	97,8	350	26,1	474,0
17	429,2	350	497,0	1276,2
18	1071,0	350	962,7	2383,6
19	1956,9	350	1328,9	3635,8
20	2958,7	350	1502,6	4811,3
21	3899,0	351	1410,5	5660,6
22	4578,5	352	1019,1	5949,6
23	4809,7	353	346,8	5509,5
24	4457,6	354	-528,1	4283,5
25	3476,8	355	-1471,2	2360,6

Таблица 9.4.

Динамика национального дохода при

C_y = 0,8; h = 2,3

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	230	1910
3	1578	350	713	2641
4	2162,8	350	1681,3	4194,1
5	3405,3	350	3572,1	7327,4

В рассматриваемой модели динамика национального дохода в случаях, когда сочетания C_y,  соответствуют областям III и IV(см. рис. 9.3), представляется неправдоподобной: не может в коротком периоде объем производства многократно возрасти или снизится. Это противоречие объясняется тем, что в модели не были учтены два обстоятельства. Во-первых, произведенный национальный доход не может существенно превысить национальный доход полной занятости; этим ограничивается амплитуда колебаний объема национального дохода сверху. Во-вторых, как отмечалось в 3.1.2, объем отрицательных индуцированных инвестиций не может превысить сумму амортизации; это ограничивает амплитуду колебания национального дохода снизу. В результате, когда сочетания C_y,  соответствуют областям III и IV, модель взаимодействия мультипликатора и акселератора принимает вид

,

причем

.

С учетом этих обстоятельств приращение автономных инвестиций приводит к колебаниям национального дохода даже при нахождении сочетания C_y,  в области IV.

Добавим к условиям примера 9.1 ограничения: y_F = 3000 и D = 500. Тогда при значениях C_y = 0,8 и  = = 2,5 после увеличения автономных инвестиций на 200 ден. ед. величина национального дохода не устремляется в бесконечность, как представлено на рис. 9.4, точка d, а колеблется в интервале {158; 3000}, как показано в табл. 9.5 и на рис. 9.5.

рис. 9.5.

Таблица 9.5.

Взаимодействие мультипликатора и акселератора при C_y = 0,8,  = 2,3, y_F = 3000, D = 500

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	230	1910
3	1578	350	713	2641
4	2162,8	350	487,2	3000
5	2450	350	200	3000
6	2450	350	0	2800
7	2290	350	-460	2180
8	1794	350	-500	1644
9	1365,2	350	-500	1215,2
10	1022,2	350	-500	872,2
11	747,7	350	-500	597,7
12	528,2	350	-500	378,2
13	352,5	350	-500	202,5
14	212,0	350	-404,0	158,1
15	176,5	350	-102,3	424,2
16	389,3	350	612,0	1351,4
17	1131,1	350	1519	3000
18	2450	350	200	3000
19	2450	350	0	2800
20	2290	350	-460	2180
21	1794	351	-500	1645
22	1366	352	-500	1218
23	1024,4	353	-500	877,4
24	751,92	354	-500	605,9
25	534,736	355	-500	389,7
26	361,8	356	-497,2	220,6
27	226,5	357	-389,1	194,4
28	205,5	358	-60,3	503,2
29	452,6	359	710,4	1521,9
30	1267,6	360	1372,4	3000

Включим в модель взаимодействия мультипликатора и акселератора еще один фактор – рост населения. Пусть в результате роста населения автономный спрос ежегодно увеличивается в (1 + n) раз. Тогда уравнение (9.1) принимает вид

.

В этом случае вследствие мультипликативного эффекта величина равновесного национального дохода ежегодно будет возрастать в (1 + n) раз:

. (9.3)

Первый сомножитель в правой части выражения (9.3) называют супермультипликатором Хикса. Он показывает, насколько увеличивается совокупный спрос в году t, если в дополнение к ежегодному росту автономного спроса, обусловленного ростом населения, на единицу возрастут автономные инвестиции.

Вследствие ежегодного увеличения населения с тем же темпом будет расти национальный доход полной занятости – верхний предел возможных колебаний национального дохода

y_Ft = y_F0(1+ n)^t.

Экзогенный рост автономного спроса повышает и нижнюю границу колебаний национального дохода, даже если допустить рост амортизационных отчислений. Примем в целях упрощения, что сумма амортизации ежегодно растет с тем же темпом, что и автономный спрос

.

В этом случае величина автономных расходов определяется по формуле:

,

а минимальная величина национального дохода –

.

Учитывая, что в рассматриваемых условиях y_t = y_{t –1}(1+n), получаем

.

Отсюда следует, что нижняя граница колебаний увеличивается с темпом роста 1+n:

.

Таким образом, супермультипликатор Хикса придает коридору колебаний национального дохода положительный наклон (рис. 9.6).

рис. 9.6