5.3. Составление портфеля из двух разновидностей акций

При наличии на рынке ценных бумаг лишь двух акций A и B область выбора инвестора не сводится к двум сочетаниям r_A, _A и r_B, _B. Для составления портфеля можно использовать бесчисленное множество комбинаций из определенного количества каждой из акций. Согласно свойству (5.1) ожидаемая доходность таких комбинаций определяется по формуле

, (5.3)

где – ожидаемые доходности соответственно портфеля и акций A и B; n_A, (1– n_A) = n_B – доли каждой из акций в общей ценности портфеля.

Степень риска каждого из возможных вариантов портфеля в соответствии со свойством (5.2) будет

. (5.4)

Из уравнения (5.3) следует, что при n_A + n_B = 1 доходность портфеля не может превышать доходность наиболее доходной акции. Поэтому, казалось бы, составлять смешанный портфель нет смысла. Однако риск портфеля, как следует из уравнения (5.4), ниже риска отдельных акций, включенных в него, не только при отрицательном коэффициенте корреляции. Чтобы этот вывод сделать более наглядным, составим портфель из акций двух фирм, имеющих не только одинаковую ожидаемую доходность , но и одинаковую степень риска . Ожидаемая доходность такого портфеля – r, а ее вариация

σ².

Отсюда следует, что основным параметром, который определяет соотношение рисков портфеля и составляющих его ценных бумаг, является коэффициент корреляции. Поскольку –1    +1, то риск портфеля не выше риска входящих в него акций. При  = 0 измеряемый дисперсией риск данного портфеля вдвое меньше, чем отдельной акции: . Если  = –1, то получаем безрисковый портфель: = 0. Объяснение того, как из двух рисковых активов получается безрисковый портфель, представлено на рис. 5.4, где показана динамика доходности во времени двух акций при  = –1. Несмотря на колебания доходности каждой из акций, у портфеля она не изменяется.

Рис. 5.4

Согласно выражению (5.4) риск портфеля, состоящего из двух акций, является функцией от одной переменной n_A. Поэтому условие минимизации риска портфеля можно представить следующим равенством:

, (5.5)

Чтобы убедиться в том, что найденный экстремум является минимумом, определим вторую производную

;

так как –1    +1, то вторая производная всегда неотрицательна.

Решение равенства (5.5) относительно n_A дает структуру портфеля с минимальным риском

(5.6)

При  = – 1 доли каждого вида акций, минимизирующие риск, будут

/ (5.7)

Портфель с такой структурой имеет нулевой риск. В этом можно убедиться, подставив значения (5.7) в формулу (5.4) при  = – 1:

.

Портфель из двух стохастически независимых акций ( = 0) в соответствии с условием (5.5) имеет минимальный риск при

.

У такого портфеля

.

При совершенной положительной корреляции двух акций ( = + 1) структура портфеля с минимальным риском следующая:

,

он тоже может быть безрисковым, так как

.

Но при этом, как следует из приведенных формул, определяющих доли каждого вида акций этого портфеля, одна из них должна быть отрицательной: если _B > _A, то < 0, а если _A > _B, то < 0. На практике этому соответствует продажа акций «без покрытия», т.е. реализация акций, взятых на время.

Однако не все выбирают портфель с минимальным риском. Некоторые инвесторы согласны иметь более рисковый портфель с более высокой ожидаемой доходностью. Поэтому нужно найти все множество возможных сочетаний _p, _p. Чтобы получить функциональную зависимость ожидаемой доходности портфеля непосредственно от степени его риска: _p = r_p(_p), нужно решить уравнение (5.4) относительно n_A и найденное значение подставить в формулу (5.3). Графическое построение данной функции приведено на рис. 5.5. Здесь представлен случай, когда = 13, _A = 3,16, = 18, _B = 6 и  = 0.

рис. 5.5.

В нижней части рис. 5.5 представлена зависимость доходности и риска портфеля от доли в нем наиболее доходной акции. По мере увеличения этой доли r_p повышается (квадрант III), а его риск сначала снижается, а потом возрастает (квадрант IV). Посредством вспомогательной линии, проведенной в квадранте II под углом 45, в квадранте I строится график r_p(_p) путем совмещения проекций графиков _p(n_B) и r_p(n_B). График r_p(_p) в квадранте I есть геометрическое место точек, представляющих все возможные комбинации значений ожидаемой доходности и степени риска портфеля, составляемого из двух разновидностей ценных бумаг с вероятностно независимой друг от друга доходностью.

Как уже отмечалось, область выбора инвестора при составлении портфеля из двух разновидностей рисковых ценных бумаг существенно зависит от коэффициента корреляции. Чтобы нагляднее представить это, определим области выбора при составлении портфеля из двух разновидностей акций A и B, у которых = 13, s_A = 3,16, = 18, s_B = 6, при различных вариантах взаимозависимости их доходностей. В табл. 5.4 приведены результаты расчетов по формулам (5.3) и (5.4) интересующих инвестора характеристик при четырех значениях ρ. На рис. 5.6 они представлены в графическом виде.

Рис 5.6.

Таблица 5.4.

Доходность и риск портфеля при различных коэффициентах корреляции

nB	rp	σp
		ρ = –1	ρ = 0	ρ = 0,5	ρ = 1
0	13	3,16	3,16	3,16	3,16
0,1	13,5	2,24	2,91	3,19	3,44
0,2	14	1,33	2,80	3,30	3,73
0,3	14,5	0,41	2,85	3,48	4,01
0,4	15	0,50	3,06	3,73	4,30
0,5	15,5	1,42	3,39	4,03	4,58
0,6	16	2,34	3,82	4,37	4,86
0,7	16,5	3,25	4,31	4,75	5,15
0,8	17	4,17	4,84	5,15	5,43
0,9	17,5	5,08	5,41	5,56	5,72
1	18	6	6	6	6

Какую точку кривых выбора предпочтет инвестор, зависит от его отношения к риску. Предпочтения индивида относительно дохода и риска можно представить в виде функции полезности: U = U( , ). В зависимости от отношения к риску люди делятся на:

1) равнодушных к риску, считающих, что их благополучие остается неизменным, если одинаково растут доходность и степень риска портфеля;

2) предрасположенных к риску, которые согласны на отставание роста доходности от повышения степени риска;

3) не расположенных к риску, для которых с его повышением полезность портфеля не изменяется при росте доходности в большей мере, чем степени риска.

Иначе говоря, чтобы полезность портфеля не менялась, для первой категории людей производная доходности по риску должна быть постоянной; для второй – уменьшаться; для третьей – возрастать.

Большинство людей относится к третьей группе. Они готовы платить за предотвращение или снижение риска. На этом основана деятельность страховых компаний, успешно функционирующих в большинстве стран.

Чтобы разделить людей на указанные три группы по их отношению к рисковому доходу, воспользуемся понятием гарантированный эквивалент лотереи (лотерейный выигрыш). Данный эквивалент – это некий гарантированный доход, который имеет для индивида такую же полезность (дает такое же приращение его благосостоянию), как и имеет возможность участвовать в лотерее с известным ожидаемым выигрышем. Проиллюстрируем применение этого критерия следующим примером.

Участникам коллективного заполнения кроссворда за отгаданное слово предлагается на выбор: а) 50 руб.; б) из урны, в которой находятся 2 красных, 3 желтых и 5 синих шаров, вынуть вслепую один из них; если шар окажется красным, то игрок получает 100 руб., если желтым, то 80 руб., а если синим, то 10 руб. Те участники, которые захотят вынимать шар, расположены к риску, так как гарантированному доходу в размере 50 руб. они предпочитают рисковый доход со следующей ожидаемой доходностью: 0,2∙100 + 0,3∙80 + 0,5∙10 = 49 руб. Когда ожидаемая доходность описанной лотереи возрастет до 50 руб. (например, в результате того, что за вынутый красный шар будут платить 105 руб.), тогда вытягивать шары захотят и безразличные к риску игроки. Не расположенные к риску участники пойдут к урне только в том случае, если ожидаемый выигрыш превысит 50 руб.

Разность между ожидаемой величиной вероятностного дохода и его гарантированным эквивалентом называют премией за риск. Будем считать, что типичный инвестор не считает риск благом и требует за него премию.

Функцию полезности не расположенных к риску людей можно представить функцией, предложенной М. Рубинштейном⁴⁶:

,

где  – коэффициент, характеризующий индивидуальные предпочтения инвестора относительно доходности и риска.

Графически такая функция изображается в виде семейства кривых безразличия инвестора (рис. 5.7), построенных по формуле , где U₀ – заданная величина полезности.

Рис.5.7.

Выпуклость кривых безразличия к оси абсцисс свидетельствует о том, что благосостояние инвестора не изменится лишь в том случае, если каждая дополнительная единица риска будет оплачиваться все возрастающей доходностью портфеля. Угол наклона касательной к кривой безразличия отражает размер требуемой инвестором платы за увеличение риска на единицу. Совместив карту безразличия инвестора с эффективной областью выбора (кривой DCE на рис. 5.8), получим геометрическое решение задачи оптимизации портфеля, состоящего из двух разновидностей рисковых активов. Для не расположенных к риску людей отрезок CD на рис. 5.8 представляет нерациональные сочетания r_p и s_p, так как каждому из них на отрезке CE соответствует комбинация, обеспечивающая большую доходность портфеля при той же степени риска.

рис. 5.8.

Точка касания эффективной области выбора с наиболее удаленной кривой безразличия (точка H на рис. 5.8) укажет на оптимальное сочетание r^*, σ^*, однозначно соответствующее определенной доле n_B (см. рис. 5.5), т.е. оптимальной структуре портфеля.

Проведенный анализ оптимизации структуры портфеля, состоящего из двух разновидностей акций, позволяет сделать следующие выводы.

1. Нельзя сформировать эффективный портфель на основе сопоставления индивидуальных характеристик отдельных акций.

2. Размер снижения риска портфеля за счет его диверсификации определяется степенью корреляции между отдельными ценными бумагами; чем ниже коэффициент корреляции, тем больше возможность снижения риска.

3. Из двух рисковых ценных бумаг можно составить безрисковый портфель, если ρ = –1 или ρ = +1; в последнем случае для этого необходимо осуществлять «продажи без покрытия» наиболее доходной ценной бумаги.

4. Оптимальная структура портфеля определяется в соответствии с предпочтениями инвестора относительно доходности и риска.