24
Решение.
|
2x + |
x |
2 |
|
|
− x |
3 |
=1, |
|
|
x |
− |
x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 5, |
x |
− x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 5, |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
3x1 + 2x2 − 2x3 =1, |
|
2x1 + x2 − x3 =1, |
|
|
3x2 −5x3 = −9, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x − x |
2 |
|
+ 2x |
3 |
= 5, |
|
3x |
+ |
2x |
2 |
− 2x |
3 |
=1, |
|
|
5x |
2 |
−8x |
3 |
= −14, |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 + 2x3 = 5, |
|
|
x1 |
− x2 + 2x3 |
= 5, |
|
x =1, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
− |
5 |
x3 = −3, |
|
|
|
x2 |
− |
5 |
x3 |
= −3, |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
x2 = 2, |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3. |
|
|
||||||
|
|
5x |
|
|
−8x |
= −14, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: {1; 2; 3 }.
Замечание. Нет необходимости выписывать системы (6), (7), …, (11). Все преобразования можно проводить над матрицами, составленными из коэффициентов этих систем.
Системе (6) соответствуют две матрицы A и A′:
a |
a |
... |
a |
|
|
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
||||||
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
1 |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
′ |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
|||||||
A = |
|
... |
... |
... |
|
A |
= |
|
... |
... |
... |
... |
. |
|||||
... |
|
|
|
... |
|
|||||||||||||
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
|
|
|
|
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
mn |
b |
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||
Матрица A называется матрицей системы и состоит из коэффициентов системы, матрица A′ называется расширенной матрицей системы и отличается от матрицы системы столбцом, состоящим из свободных членов уравнений системы. При решении системы (6) методом Гаусса элементарные преобразования системы заменяются соответствующими элементарными преобразованиями, выполняемыми над ее расширенной матрицей A′.
§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
Определение.
ar
A
Вектором называется направленный отрезок прямой.
→
|
Точка A называется началом вектора AB , а |
|
B |
точка B – его концом (рис. 1.1). |
|
→ |
||
|
||
|
Обозначения: AB , a . |
Рис. 1.1 |
Определение. |
Длина вектора называ- |
|
→
ется его модулем и обозначается AB , a .
25
Определение. Вектор, начальная точка которого совпадаетr с его конечной точкой, называется нуль-вектором и обозначается 0 .rНуль-вектор не имеет определенного направления, его модуль равен нулю: 0 = 0 .
Определение. Два вектора a и b , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Определение. Два вектора a и b называются равными, если |
||
r |
= |
r |
1) a |
b ; |
|
2) ar и br коллинеарны;
3) ar и b направлены в одну сторону.
В этом случае пишут: ar = b .
Для каждого вектора ar ≠ 0 существует противоположный вектор, обозначаемый − ar. Вектор − a имеет модуль, равный модулю вектора a , коллинеарен ему, но направлен в противоположную сторону.
Линейные операции над векторами
1. Сложение векторов.
b
ar 
ar + b
Рис. 1.2
r |
r |
+ b |
a |
a |
br
Рис. 1.3
Чтобы сложить векторы ar и br, нужно:
а) от конца вектора a отложить вектор b , соединить начало вектора a с концом вектора b . Полученный вектор – сумма векторов ar и b (рис. 1.2);
б) отложить векторы a и b от одной точки, по-
строить на векторах a и b параллелограмм, как на сторонах, построить диагональ параллелограмма, исходящую из общего начала векторов. Это будет
сумма векторов a и b (рис. 1.3).
Свойства операции сложения векторов.
1)ar + br = br + ar – переместительный закон.
2)(ar + b )+ cr = ar + (b + cr )– сочетательный закон.
r |
b |
br |
|
||||
a |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
b |
+ c cr |
|
|
|
|
r |
+ b |
||
|
|
|
|||||
cr |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ar + b + cr
Рис. 1.4
26
Рис. 1.4 иллюстрирует выполнение сочетательного закона и правило сложения трех и более векторов.
3)ar + 0r = ar.
2. Вычитание векторов.
Определение.
ar |
|
r |
ar − b |
|
|
||
|
|
b |
|
|
Рис. 1.5 |
||
Разностью двух векторов a и b называется третий вектор cr = ar − b , сумма которого с вычитаемым вектором b дает вектор a .
Таким образом, если cr = ar − b , то cr + b = ar. Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 1.5).
3. Умножение вектора на число. |
|
|
тор cr |
Определение. Произведением вектора a на число λ называется век- |
|
, коллинеарный вектору a , имеющий длину c = λ ar |
и то же на- |
|
правление, что и вектор ar, если λ > 0 , и противоположное направление, если
λ < 0 .
Противоположный вектор − a можно рассматривать как произведение:
− a = −1 a .
|
Очевидно, |
|
− ar + ar = 0. |
|
Очевидно, что два вектора a и b коллинеарны br = λ ar. |
λ ar |
Произведение вектора a на число λ можно записывать как в виде |
, так и в виде ar λ . |
Свойства операции умножения вектора на число.
1)λ (ar + br )= λ ar + λ b – распределительный закон.
Доказательство следует из того, что, если стороны параллелограмма увеличиваются в λ раз, то и диагональ увеличится в λ раз.
2) (λ1 λ2 ) ar = λ1 (λ2 ar).
Определение. Вектор, длина которого равна 1, называется единич-
ным.
Замечание. Каждый вектор a равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления a0 :
a = a a0 .
Вектор ar0 называют ортом вектора a .