|
|
|
nrα nβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
||||
|
|
|
|
|
A A + B B +C C |
2 |
|
|
||||||||||
cosϕ = |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
= |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
. |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
+ B2 |
+C2 |
A2 |
+ B2 |
+C2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
nα |
|
|
nβ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
β
nrβϕnα ϕ
α
Рис. 2.13
Отметим, что две плоскости α и
β :
а) параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы nα и nβ
коллинеарны;
б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы nα и
nβ перпендикулярны.
3.6 Расстояние от точки до плоскости
Пусть даны точка M1(x1; y1; z1 ) и плоскость α , имеющая уравнение Ax + By +Cz + D = 0 . Расстояние d между ними определяется по формуле
d = |
|
A x1 + B y1 +C z1 |
+ D |
|
, |
(8) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
A2 + B2 +C2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
вывод которой аналогичен выводу формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.
§4. Прямая в пространстве
4.1Уравнение линии в пространстве
Линию в пространстве мы будем рассматривать как множество всех точек, принадлежащих каждой из двух пересекающихся поверхностей. Если эти поверхности заданы уравнениями F(x; y ; z) = 0 и Ф(x; y ; z) = 0 , то ли-
ния их пересечения определяется системой уравнений
F(x; y ; z) = 0;Ф(x; y ; z) = 0.
Рассмотрим систему уравнений первой степени:
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0;A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.
(1)
(2)
52
Каждое из этих уравнений является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны (т.е. их нормальные векторы не коллинеарны), то система (2) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей, т.е. как множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений (2).
Уравнения (2) называют общими уравнениями прямой в пространстве.
4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием ка- кой-либо ее фиксированной точки M1 и вектора s , параллельного этой пря-
мой или лежащего на ней (рис. 2.14). Вектор s называется направляющим вектором этой прямой, а его проекции на координатные оси – направляющи-
ми коэффициентами прямой.
Пусть прямая L задана ее точкой M1(x1; y1; z1 ) и направляющим векто- |
|||||||
ром sr = m ir |
+ n rj + p kr |
, имеющим направляющие коэффициенты m , n , p . |
|||||
Рассмотрим произвольную точку M (x; y ; z) на прямой. Тогда |
|||||||
|
z |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
M |
|
|
OM = OM1 + M1M . |
|||
|
|
s |
|
||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
M1 |
|
|
|
Вектор M1M , лежащий на прямой |
|||
|
|
|
|
||||
|
r |
|
|
L , коллинеарен |
r |
|
|
|
|
|
|
s , поэтому |
|||
|
|
r |
|
|
→ |
|
|
r1 |
|
|
|
|
M1M = t sr, |
||
|
|
O |
|
y |
где скалярный множитель t , который |
||
x |
|
|
|
|
называется параметром, может при- |
||
|
Рис. 2.14 |
|
|
нимать различные значения. Обозна- |
|||
|
|
→ |
|
чая радиус-векторы точек M1 и M |
|||
|
|
r |
r |
→ |
|
|
|
соответственно через r1 = OM1 и r |
= OM , получаем |
|
|
||||
|
|
|
|
r = r1 +t s . |
|
(3) |
|
Уравнение (3) называется векторным уравнением прямой. |
|
||||||
Представим уравнение (3) в координатной форме. Замечая, что |
|||||||
|
|
|
rr = OM = x ir + y rj + z kr, |
|
|
||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
rr1 = OM1 = x1 ir + y1 rj + z1 kr, |
|
|
||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
t sr = tm i +tn j +tp k , |
|
|
||
получим |
|
|
x |
= x1 + mt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= y1 + nt, |
|
(4) |
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
z |
= z + pt. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Формулы (4) называются параметрическими уравнениями прямой.
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
4.3 Канонические уравнения прямой |
||
|
Пусть |
M1(x1; y1; z1 ) – точка, |
лежащая |
на прямой L , и |
|
sr |
|
|
|
|
→ |
= m i + n j + p k |
– направляющий вектор прямой. Вектор M1M , соеди- |
||||
няющий точку M1 |
с переменной точкой M (x; y ; z) |
прямой L , коллинеарен |
|||
sr |
|
|
→ |
и s |
|
. Поэтому |
проекции векторов M1M |
пропорциональны. Т.к. |
|||
M1M = (x − x1 ) ir |
+ ( y − y1 ) rj + (z − z1 ) kr, то получаем |
||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
|
|
m |
n |
|
|||
|
|
|
|
p |
|||
Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой.
В частном случае, когда направляющий вектор sr – единичный, sr = cosα ir + cos β rj + cosγ k , то уравнения (5) имеют вид
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
cosα |
cos β |
|
|||
|
|
cosγ |
|||
Пусть прямая L задана общими уравнениями:
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0;A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.
(5)
т.е.
(6)
(2)
Для того, чтобы перейти от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям, необходимо:
1)точку M1(x1; y1; z1 ) на прямой L получим из системы (2), придав одной из координат произвольное значение;
2)за направляющийr r вектор s прямой L можно взять векторное произведение N1 × N2 :
r |
r |
r |
|
ir |
rj |
k |
|
|
|
|
|||||||
= |
A1 |
B1 |
C1 |
. |
||||
s |
= N1 |
× N2 |
||||||
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки |
||||||||
Пусть прямая L проходит через точки |
M1(x1; y1; z1 ) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) . |
|||||||
Составим канонические уравнения этой прямой. С этой целью найдем направляющий вектор sr прямой, за который примем вектор, соединяющий
точки M1 и M 2 :
r = → = − r + − r + − r s M1M 2 (x2 x1 ) i ( y2 y1 ) j (z2 z1 ) k .
Следовательно, m = x2 − x1 , n = y2 − y1 , p = z2 − z1 , поэтому из (5) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
(7) |
||||||
|
|
|
||||||||||
x |
2 |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
z |
2 |
− z |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
Уравнения (7) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.
4.5Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
иперпендикулярности прямых
Пусть в пространстве даны две прямые:
L |
: |
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
|
= |
z − z1 |
, |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
m1 |
|
|
|
n1 |
|
|
p1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L |
: |
x − x2 |
|
= |
y − y2 |
= |
z − z2 |
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
m2 |
|
|
|
n2 |
|
|
p2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
За угол между двумя прямыми принимают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через ка- кую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов равен углу ϕ
между направляющими векторами |
s1 |
и |
s2 |
данных |
прямых. Т.к. |
|||||
sr1 = m1 i + n1 j + p1 k , sr2 = m2 i + n2 j + p2 k , то |
|
|
|
|||||||
|
cosϕ = |
rs1 |
sr2 |
|
, |
|
|
|
|
|
или |
|
|
s1 |
s2 |
|
|
|
|
|
|
m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 |
|
|||||||||
|
|
|||||||||
cosϕ = |
|
|
|
|
|
. |
(8) |
|||
m2 |
+ n2 + p2 |
m2 |
+ n2 |
+ p2 |
||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов s1 и s2 .
4.6 Прямая и плоскость в пространстве
1. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Рассмотрим прямую L и плоскость Q :
L : |
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
, |
|
m |
n |
p |
|||||
|
|
|
|
||||
Q : |
Ax + By +Cz + D = 0 . |
|
|||||