115

§20. Дифференциал функции одной переменной

20.1Дифференциал и его геометрический смысл

производная

f ′(x0 ) = A .

Если функция представима в виде (2), то говорят, что функция дифференцируема.

Определение. Дифференциалом функции называется величина, про-

порциональная бесконечно малому приращению аргумента x и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка чем x .

Дифференциал функции y = f (x) обозначается через dy или df (x) .

116

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции y = f (x) в точке x0 служит существование ее производной в этой

точке, и тогда

df = f ′(x0 ) x .

Определение. Приращение x независимой переменой x называют ее дифференциалом dx , т.е.

x = dx .

Таким образом,

Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.

df = f ′(x0 ) dx .

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию дифференциала функции

отрезком M ′T , заключенным между линией и касательной к ней; длина это-

го отрезка является при x → 0 бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем длина отрезка MR .

20.2Свойства дифференциала функции

1)d( f (x) ± g(x)) = ( f (x) ± g(x))′ dx = ( f ′(x) ± g′(x)) dx =

=f ′(x) dx ± g′(x) dx = df (x) ± dg(x) .

Таким образом,

f (x) g(x) dx + f (x) g (x) dx = g(x) df (x) + f (x) dg(x) .

Таким образом,

d( f (x) g(x)) = g(x) df (x) + f (x) dg(x) .

117

20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности

Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающее из правила дифференциала сложной функции.

Пусть y = f (u) и u =ϕ(x) – непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам f ′(u) и ϕ′(x) . Если обозначить F(x) = f [ϕ(x)], то y′ = F′(x) = f ′(u) ϕ′(x) . Умножая обе части уравнения на

dx , получим:

dy = f ′(u) ϕ′(x) dx ,

но ϕ′(x) dx = du , и значит,

dy = f ′(u) du ,

т.е. дифференциал dy имеет такой же вид, как если бы величина u была бы независимой переменной.

Дифференциал функции y = f (u) сохраняет одно и то же выражение,

независимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной или функцией от независимой переменной.

Это свойство называется инвариантностью (т.е. неизменностью) фор-

мы дифференциала.

20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала

Пусть в точке x0 производная функции y = f (x) отлична от нуля:

f ′(x0 ) ≠ 0 . Тогда

f = f ′(x0 ) dx +α(x) = df +α(x) ,

где α(x) – б/м величина при x → 0 более высокого порядка, чем dx .Но при указанном условии она будет б/м величиной более высокого порядка и чем

118

бесконечно малую величину более высокого порядка, чем они сами, и, следовательно, они эквивалентны:

Формула (3) называется формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала.

20.5 Дифференциалы высших порядков

Пусть дана дифференцируемая функция y = f (x) . Тогда df = f ′(x) dx .

Определение. Дифференциалом второго порядка функции f (x) на-

зывается дифференциал от функции (df (x)) : d 2 f = d(df (x)) . Аналогично:

Дифференциалом n -го порядка называется дифференциал от дифференциала (n −1) -го порядка как функции x : d n f = d(d n−1 f (x)) .