81

Определение 2. Число b2 называется

пределом функции

f (x) при

x → x0 справа, если для любого сколь угодно

малого числа ε > 0

существует

такое δε

> 0 ,

что

для

всех

x ,

удовлетворяющих

соотношению

x0 < x < x0 +δε , выполняется неравенство

f (x) −b2

< ε .

Обозначение:

lim

f (x) = b2 .

x→x0 +0

Замечание. Если функция

f (x) имеет в точке x0 оба односторонних преде-

ла, которые равны между собой и равны числу b , то функция

f (x) имеет в

точке x0 предел равный b .

§ 9.

Свойства функций, имеющих предел

Определение.

Функция f (x)

называется ограниченной на некотором

множестве M , если для любого x M выполняется неравенство

f (x)

≤ C ,

где C – некоторая положительная константа.

Теорема 1.

Пусть функция

f (x)

имеет предел в точке x0 , тогда суще-

ствует проколотая окрестность O&(x ) , в которой функция

f (x)

ограничена.

0

Доказательство.

Пусть

lim

f (x) = b . Это значит, что для любого ε > 0

и

x

→x0

для ε =1 существует δ > 0

такое, что для любого x O&

(x ) выполняется не-

δ

0

равенство

f (x) −b

< ε =1, т.е. b −1 < f (x) < b +1.

Пусть

C = max{

b +1

;

b −1

}. Тогда для любого x O&

(x ) выполня-

δ

0

ется неравенство

f (x)

< C , что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Если функция

f (x) имеет предел при x → x0 , то этот пре-

дел единственный.

Доказательство.

Предположим,

что функция

f (x) при

x → x0

имеет два

различных предела, т.е.

lim

f (x) = a

и

lim

f (x) = b .

x→x0

x→x0

lim

f (x) = a , следовательно:

x→x0

x :

для

любого

ε > 0

существует

δ1 > 0

такое,

что

для

любого

0 <

x − x0

<δ1

f (x) − a

< ε .

(1)

lim

f (x) = b , следовательно:

x→x0

δ2 > 0

x :

для

любого

ε > 0

существует

такое,

что

для

любого

0 <

x − x0

<δ2

f (x) −b

< ε .

(2)

Пусть

δ = min{δ1; δ2 }. Тогда для любого x : 0 <

x − x0

<δ

будут од-

Следовательно,

b − a

≤ 2ε

b − a

= 0 , т.е.

b = a . Следовательно, если

предел у функции существует, то он единственный.

Теорема 3 (теорема о двух милиционерах).

Пусть даны три функ-

ции f (x) , ϕ(x) ,

g(x) , которые определены в некоторой окрестности O&(x ) и

0

lim ϕ(x) = lim g(x) = b , то lim f (x) = b .

x→x0

x→x0

x→x0

Доказательство. Пусть

f (x) удовлетворяет условию ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) . (*)

Пусть lim ϕ(x) = b , следовательно:

x→x0

x :

для

любого

ε > 0

существует

δ1 > 0

такое,

что

для

любого

0 <

x − x0

<δ1

ϕ(x) −b

< ε .

(3)

Пусть lim g(x) = b , следовательно:

x→x0

x :

для

любого

ε > 0

существует

δ2 > 0

такое,

что

для

любого

0 <

x − x0

<δ2

g(x) −b

< ε .

(4)

Пусть

δ = min{δ1;

δ2 }. Тогда для любого x , удовлетворяющего соот-

ношению 0 <

x − x0

<δ , будут одновременно выполняться и неравенство (3)

и неравенство (4).

b −ε <ϕ(x) < b +ε .

Неравенство (3) можно представить в виде:

Неравенство (4) можно представить в виде:

b −ε < g(x) < b +ε .

Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется не-

равенство (*). Тогда для любого x O&

(x ) получаем:

δ

0

Таким образом,

имеем: для любого

x :

0 <

x − x0

<δ

выполняется

b −ε < f (x) < b +ε

f (x) −b

< ε

lim

f (x) = b .

x→x0

§ 10.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1.

Функция f (x)

называется б/м функцией при x → x0 ,

если lim f (x) = 0 .

x→x0

Пример.

Функции y = sin x и

y = x

являются б/м при

x → 0 , т.к.

lim sin x = 0 и

lim x = 0 .

x→0

x→0

83

Теорема 1.

Пусть f (x) , ϕ(x) – б/м функции при x → x0 . Тогда:

F(x) = f (x) +ϕ(x) – б/м функция при x → x0 .

Доказательство.

Рассмотрим произвольное число ε . Тогда:

x :

для

ε 2 > 0

существует

δ1 > 0

такое,

что

для

любого

0 <

x − x0

<δ1

f (x)

< ε 2 ;

x :

для

ε 2 > 0

существует

δ2 > 0

такое,

что

для

любого

0 <

x − x0

<δ2

ϕ(x)

< ε 2 .

Пусть

δ = min{

δ

; δ

2

}. Тогда для любого x O&

(x ) имеем:

1

δ

0

F(x)

=

f (x) +ϕ(x)

≤

f (x)

+

ϕ(x)

< ε 2 +ε 2 = ε .

Т.е. для любого

ε

> 0 нашли δ = min{δ

;

δ

2

} такое, что для всех x O&(x )

1

0

выполняется неравенство

F(x)

< ε . Следовательно,

lim

F(x) = 0 , т.е. F(x)

x→x0

– б/м функция при x → x0 .

Теорема 2.

Пусть

f (x) – б/м функция при x → x0

и функция ϕ(x) –

ограничена в O&

(x

) , тогда F(x) = f (x) ϕ(x)

– б/м функция при x → x .

δ

0

0

Доказательство.

Пусть

f (x) –

б/м функция при

x → x0 ,

следовательно,

lim f (x) = 0 .

x→x0

для любого x O&

(x )

ϕ(x)

≤ C .

δ

0

C > 0 . По определению предела для

Для любого ε > 0 рассмотрим ε

него существует δ

> 0

такое, что для любого x O&

(x )

f (x)

< ε C .

1

δ1

0

Пусть

δ* = min{δ ; δ

1

},

тогда для любого x :

0 <

x − x

0

<δ*

F(x)

=

f (x) ϕ(x)

=

f (x)

ϕ(x)

<

ε

C = ε .

C

существует δ*

Таким образом, для любого ε > 0

такое, что для любого

x : 0 <

x − x

0

<δ*

F(x)

< ε . Следовательно,

lim F(x) = 0 , т.е. F(x) –

x→x0

б/м функция при x → x0 .

Теорема 3.

Пусть f (x)

– б/м функция при x → x0 , функция g(x) име-

ет предел lim g(x) = b ≠ 0 . Тогда:

x→x0

f (x)

F(x) =

– б/м функция при x → x .

g(x)

0

Доказательство.

По условию: F (x) =

f (x)

= f (x)

1

.

g(x)

g(x)

lim g(x) = b , следовательно, для любого ε > 0

существует δ > 0 такое,

x→x0

что для любого x : 0 <

x − x0

<δ

g(x) −b

< ε .

Отсюда получаем:

ε >

b − g(x)

≥

b

−

g(x)

, тогда

b

−

g(x)

< ε

g(x)

>

b

−ε .

Пусть ε <

b

, тогда: