55

Прямая L и плоскость Q :

а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когдаr направляющий вектор sr ={m; n; p } прямой и нормальный вектор N = {A; B; C } плоскости коллинеарны;

б) параллельныr друг другу тогда и только тогда, когда векторы s ={m; n; p } и N = {A; B; C }перпендикулярны.

2. Точка пересечения прямой с плоскостью.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой L с плоскостью Q :

Q : Ax + By +Cz + D = 0 .

Для этого нужно совместно решить систему уравнений L и Q . Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений:

Подставляя x , y , z из (*) в уравнение плоскости Q , получим уравнение, из которого найдем значение параметра t :

A(x1 + mt) + B( y1 + nt) +C(z1 + pt) + D = 0 ,

или

t( Am + Bn +Cp) = −( Ax1 + By1 +Cz1 + D) .

Если плоскость и прямая не параллельны (т.е. N sr ≠ 0 ), найдем:

t = − Ax1 + By1 +Cz1 + D . Am + Bn +Cp

§ 5. Плоские кривые второго порядка

Определение. Плоской кривой второго порядка называется линия, оп-

ределяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых

Составим определитель из коэффициентов при старших членах уравне-

ния (1):

следовательно,

(x + c)2 + y2 + (x −c)2 + y2 = 2a .

Отсюда

(x + c)2 + y2 = 2a − (x −c)2 + y2 .

Возведя обе части полученного соотношения в квадрат, получим:

(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x −c)2 + y2 − 4a (x −c)2 + y2 ,

x2 + 2xc + c2 + y2 − 4a2 − x2 + 2xc −c2 − y2 = −4a (x −c)2 + y2 , 4xc − 4a2 = −4a (x −c)2 + y2 ,

cx − a2 = −a (x −c)2 + y2 .

Еще раз возведем обе части полученного соотношения в квадрат:

Т.к. по определению эллипса 2a > 2c , то число a2 −c2 положительное. Введем обозначение: a2 −c2 = b2 . Тогда уравнение (*) примет вид

b2 x2 + a2 y2 = a2b2 ,

Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными осями. Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, а точка их пересечения – центром эллипса. Та ось, на которой расположены фокусы эллипса (в данном случае ось Ox ), называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с

59

Построим ДСК так, чтобы фокусы F1 и F2 оказались на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 . В этой системе координат фокусы имеют координаты: левый фокус F1 (−c; 0) и правый фокус F2 (c; 0) . Выведем уравнение гиперболы. По определению гиперболы, для любой ее точки M (x; y) имеем

(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = ±2a .

После упрощений получим

(a2 −c2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 −c2 ) .

В этом уравнении разность a2 −c2 < 0 . Положим c2 − a2 = b2 . Тогда получим

b2 x2 − a2 y2 = b2a2 ,

или

Уравнение (5) называется каноническим уравнением гиперболы.

Гипербола имеет две оси симметрии, которые совпадают с осями координат. Точка их пересечения называется центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью.

Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Гипербола имеет две вершины: A1 (−a; 0) , A2 (a; 0) .

Фокальная ось называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси – мнимой осью гиперболы.

Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2a . Отрезок, соединяющий точки B1 (0; −b) и

B2 (0; b) , а также его длина 2b называется мнимой осью гиперболы. Числа a

и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты: прямые y = ba x и y = − ba x .

Прямоугольник CDEN с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям Ox и Oy и соответственно равными 2a и 2b , называ-

ется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины фокусного расстояния гиперболы к ее действительной полуоси: ac = ε .