Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf

Скачиваний:

250

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

§ 13. Первый замечательный предел

Теорема.

Доказательство.

lim sin x =1.

x→0 x

Возьмем окружность радиуса 1 и предположим, что величина AOB равна x радиан, причем 0 < x <π2 .

1) Покажем, что lim sin x = 0 .

x→0

= sin x ,

0 < sin x < x .

= x ,

AC ,

Устремим x → 0 :

lim 0 = 0

теорема3 § 9

D 1

x→0

lim x =

lim sin x = 0.

x→0

Рис. 3.18

x→0

2) Покажем, что lim cos x =1.

x→0

cos x =1 −

2 x

, lim cos x = lim

− 2sin

2 x

2sin

− 2 lim

=1−0 =1.

→0

x→0

Из рис. 3.18 видно, что

S OCD < SсекOAC < S OBA .

S OCD =

= 1 sin x cos x ,

SсекOAC = 1 R2

x =

S OBA =

1 tg x ,

следовательно,

1 sin x cos x <

x <

tg x .

sin x

Разделим полученные неравенства на

> sin x

cos x <

> cos x .

sin x

cos x

Устремим x → 0 :

lim

теорема 3 § 9

sin x

x→0 cos x

lim

=1.

lim cos x =1

x→0

§ 14. Второй замечательный предел

Рассмотрим функцию

f (x)

. Эта функция монотонно воз-

растает. Можно доказать, что она имеет предел при x → ∞ , т.е. существует

	+	1 x		1 x	= e .
lim 1	+		= e ≈ 2,71828...	lim(1+ x )	= e .
x→∞		x		x→0

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

§ 15. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть даны функции f (x) и g(x) , б/м при x → x0 .

Определение 1.	Если	lim		f (x)	= 0 , то говорят, что функция	f (x)
				g(x)
		x→x0
имеет больший порядок малости при x → x0 , чем функция g(x) .
Определение 2.	Если	lim		f (x)	= ∞, то говорят, что функция	f (x)
				g(x)
		x→x0
имеет меньший порядок малости при x → x0 , чем функция g(x) .
Определение 3.	Если	lim		f (x)	= a ≠ 0 , то говорят, что функции	f (x)
			g(x)
		x→x0

и g(x) имеют одинаковый порядок малости при x → x0 . При этом, если a =1, функции f (x) и g(x) называют эквивалентными (обозначение: f (x) ~ g(x) ) при x → x0 .

Замечание.		Можно доказать:		x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x при x → 0 .
Пример.				arcsin 3x ~ 3x,			3x =
		lim arcsin 3x =		arcsin 3x ~ 3x,		= lim	3x =	3 .
		x→0	sin 5x	sin 5x ~ 5x		x→0	5x	5
			§ 16. Непрерывность функции
Определение 1.			Функция	y = f (x)	называется непрерывной в точке
x0 , если выполняются условия:
1)	f (x)	определена в точке x0 и некоторой ее окрестности;
2)	существует		lim f (x) ;
		x→x0						lim f (x) = f (x0 ) .
3)	этот предел равен значению функции в точке x0 :							lim f (x) = f (x0 ) .
								x→x0
Определение 2.			Функция	y = f (x)	называется непрерывной в точке

x0 , если эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 и если

lim y = 0 ,

x→x0

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 3. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке

(интервале), если она непрерывна в каждой точке данного отрезка (интервала).

Замечание (к определению 3). Существует понятие непрерывность слева (справа). В этом случае в исследуемых точках вычисляются односторонние пределы. Если не выполняется хотя бы одно из условий определений 1, 2, то функция f (x) не будет непрерывна в точке x0 , и точка x0 в этом случае на-

зывается точкой разрыва функции f (x) .

Точки разрыва принято подразделять на два типа.

Определение 4. Точка x0 (точка разрыва) называется точкой разрыва I-го рода функции f (x) , если существуют односторонние пределы этой функции при x → x0 слева и справа. Все остальные точки разрыва относятся к точкам разрыва II-го рода.

Определение 5. Точка разрыва I-го рода x0 функции f (x) называется устранимой точкой разрыва, если существуют односторонние пределы

функции f (x) в точке x0 и они равны:					f (x) .
	lim	f (x) = lim			f (x) .
	x→x0 −0		x→x0 +	0
Если lim	f (x) = a ≠	lim	f (x) = b ,		то говорят, что функция		f (x)
x→x0 −0	x→x0 +0
совершает в точке x0 скачок на величину h =					b − a	.
совершает в точке x0 скачок на величину h =					b − a	.
§ 17.	Операции над непрерывными функциями
Теорема 1. Пусть функции			f (x) и g(x) определены в точке x0				и не-

которой ее окрестности. Тогда, если функции f (x) и

g(x) непрерывны в

точке x0 , то функции

[ f (x) ± g(x) ], f (x) g(x)

будут также непрерывны в

точке x . Кроме того, если g(x ) ≠ 0 , то функция

f (x)

непрерывна в точке

g(x)

x0 .

f (x) и g(x) определены в O(x0 ) и непре-

Доказательство. Пусть функции

рывны в точке x0 . Тогда

lim f (x) = f (x0 ) и

lim

g(x) = g(x0 ) . Из соответст-

x→x0

вующих свойств предела функции в точке получаем:

lim [ f (x) ± g(x) ]= lim

f (x) ± lim g(x) = f (x0 ) ± g(x0 ) ;

x→x0

lim [ f (x) g(x)

]= lim f (x) lim g(x) = f (x0 ) g(x0 ) ;

x→x0

f (x)

lim f (x)

f (x0 )

lim

x→x0

lim g(x)

x→x0

g(x)

g(x )

x→x0

f (x)

Отсюда следует, что функции [ f (x) ± g(x) ],

f (x) g(x)

непрерывны

g(x)

в точке x0 .

Теорема 2. Пусть функция u =ϕ(x) непрерывна в точке x0 и функция y = f (u) непрерывна в точке u0 , где u0 – значение функции ϕ в точке x0 (u0 =ϕ(x0 ) ), тогда сложная функция y(x) = f [ϕ(x)] будет непрерывна в точке

x0 .	lim y(x) = y(x0 ) .
Доказательство. Нужно доказать:
По условию, функция u =ϕ(x)	x→x0
	непрерывна в точке x0 . Это значит:

lim ϕ(x) =ϕ(x0 ) = u0 . То, что x → x0 , одновременно означает								u → u0 . Тогда:
x→x0
lim	y(x) = lim f (u) =		т.к. f (u) −		= f (u	0	) = f (ϕ(x )) = y		0	.

x→x0	u →u0		непр− я ф−	я			0

Таким образом, получили:		lim y(x) = y(x0 ) , следовательно,						функция y(x)
		x→x0

непрерывна в точке x0 .

§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке [a ; b ]

Определение 1. Пусть функция f (x) определена на множестве X .

Наибольшим значением функции f (x) называется такое число M , что для любого x X f (x) ≤ M и для любого M1 < M существует x X : f (x) > M1 .

Обозначение:	max f (x) = M .
	x X
Определение 2.	Наименьшим значением функции					f (x) на множестве
X называется такое число m , что для любого					x X f (x) ≥ m и для лю-
бого m1 > m существует x X :			f (x) < m1 .
Обозначение:	min f (x) = m .
	x X
Наибольшее и наименьшее значения могут не достигаться функцией.
Пример.		sin x				π
Рассмотрим функцию y =		sin x				π
Рассмотрим функцию y =			x	на интервале x 0;		.
			x			2

Функция y = sin x	убывает,	lim sin x		=1, наибольшее значение 1.
x		x→0	x
Теорема 1. Пусть функция		f (x)	определена и непрерывна на отрезке

[a; b ]. Тогда она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Теорема 2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b ] и принимает различные по знаку значения на его концах, т.е. f (a) f (b) < 0 . Тогда существует хотя бы одно x0 [a; b ] такое, что f (x0 ) = 0 .

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб250КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб178КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9037Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf

§ 13. Первый замечательный предел

§ 14. Второй замечательный предел

§ 15. Сравнение бесконечно малых функций

§ 16. Непрерывность функции

Операции над непрерывными функциями

§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке [a ; b ]