85

0 <

x − x

<δ

f (x)

< ε

1

=

1

> 1 = E . Таким образом,

0

f (x)

f (x)

ε

получили, что для любого x : 0 <

1

x − x

0

<δ

> E , следовательно,

f (x)

1

является б/б функцией при x → x .

f (x)

0

§ 11. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если функция

f (x) имеет предел в точке

x0 , равный b ,

т.е.

lim

f (x) = b ,

то

функцию

f (x)

можно

представить в

виде

x→x0

– б/м функция при x → x0 .

f (x) = b +α(x) , где функция α(x)

Доказательство.

Пусть

lim

f (x) = b .

x→x0

– б/м функция при x → x0 .

Рассмотрим

f (x) −b =α(x) . Докажем, что α(x)

То, что lim f (x) = b означает, что для любого ε > 0

существует δ > 0

такое,

x→x0

что для любого x :

0 <

x − x0

<δ

f (x) −b

< ε

α(x)

< ε , следо-

вательно, α(x) – б/м функция при x → x0 .

f (x)

Теорема 2 (обратная к теореме 1).

Если

функцию

можно

б/м при x → x0 , т.е. f (x) = b +α(x) , то существует

lim f (x) = b .

x→x0

Доказательство.

Пусть функция f (x)

представима в виде

f (x) = b +α(x) ,

где α(x) – б/м функция при x → x0 . Это значит: для любого ε > 0

существу-

ет

δ > 0

такое,

что

для

любого

x :

0 <

x − x0

<δ

α(x)

< ε

f (x) −b

< ε , следовательно, существует

lim

f (x) = b .

x→x0

Теорема 3.

Пусть

lim

f (x) = a и

lim g(x) = b .

x→x0

x→x0

Тогда функция f (x) ± g(x) имеет в точке x0

предел

lim [ f (x) ± g(x) ]= a ±b = lim

f (x) ± lim g(x) .

x→x0

x→x0

x→x0

Доказательство. По теореме 1 имеем:

f (x) = a +α(x) ,

где α(x)

– б/м функция при x → x0 ,

g(x) = b + β(x) ,

где β(x)

– б/м функция при x → x0 .

Тогда:

f (x) ± g(x) = a ±b + (α(x) ± β(x)) .

86

Т.к.

− β(x) = −1 β(x)

(α(x) − β(x) ) – б/м функция при x → x0 ,

ограниченная

б/м функция

функция

следовательно, (α(x) ± β(x) ) – б/м функция при x → x0 . Тогда по теореме 2:

lim [ f (x) ± g(x) ]= a ±b = lim

f (x) ± lim g(x) .

x→x0

x→x0

x→x0

Теорема 4.

Пусть lim

f (x) = a и

lim g(x) = b .

x→x0

x→x0

Тогда функция

f (x) g(x) имеет в точке x0

предел

lim [ f (x) g(x) ]= a b =

lim

f (x) lim g(x) .

x→x0

x→x0

x→x0

Доказательство. По теореме 1 имеем:

f (x) = a +α(x) ,

где α(x)

– б/м функция при x → x0 ,

g(x) = b + β(x) ,

где β(x)

– б/м функция при x → x0 .

Тогда:

f (x) g(x) = (a +α(x)) (b + β(x)) = a b +[a β(x) +α(x) b +α(x) β(x) ].

огран. ф-я

б/м

б/м

б/м

огран.

б/м ф-я

ф-я

ф-я

ф-я

ф-я

Сумма б/м функций есть б/м функция, т.е.

[a β(x) +α(x) b +α(x) β(x) ]= γ (x) , где γ (x)

–

б/м функция при x → x0 .

Тогда по теореме 2:

lim [ f (x) g(x) ]= a b =

lim

f (x) lim g(x) .

x→x0

x→x0

x→x0

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак преде-

ла:

lim [c f (x)

]= c lim f (x) .

x→x0

x→x0

Следствие 2.

Предел функции

f (x) в степени n ( n N ):

lim [ f (x) ]n = lim

f (x) n .

x→x0

→x0

x

Теорема 5.

Пусть lim

f (x) = a и

lim g(x) = b ≠ 0 .

x→x0

x→x0

Тогда функция

f (x)

имеет предел

g(x)

f (x)

lim f (x)

a

lim

=

x→x0

=

.

g(x)

lim g(x)

b

x→x0

x→x0

f (x) = a +α(x) ,

где α(x) – б/м функция при x → x0 ,

g(x) = b + β(x) ,

где β(x) – б/м функция при x → x0 .

Рассмотрим:

f (x)

− a

= a +α(x)

− a = a b +b α(x) − a β(x) − a b

= b α(x) − a β(x)

= γ (x)

g(x)

b b + β(x)

b

b2 +b β(x)

b2 +b β(x)

b α(x) – б/м функция

огран.

б/м

следовательно, b α(x) − a β(x) –

ф-я

ф-я

б/м функция при x → x0 .

a

β(x) – б/м функция

огран.

б/м

ф-я

ф-я

f (x)

a

теорема2

f (x)

a

lim f (x)

=

+γ (x)

lim

=

=

x→x0

.

g(x)

b

g(x)

b

lim g(x)

x→x0

x→x0

Пример 1.

Вычислить lim

x2 +3x +1

.

x3 +

2x

x→1

Решение.

теорема5 lim(x2 +3x +1) теорема3 lim x2 + lim 3x + lim1

x2 +3x +1

lim

=

x→1

=

x→1

x→1

x

→1

=

x3 + 2x

lim(x3

+ 2x)

lim x3 + lim 2x

x→1

x→1

x→1

x→1

( lim x )2 +3 lim x + lim1

2

+3 +1

=

x→1

x→1

x→1

=

1

3+3

1+1 = 1

=

5 .

( lim x )

3

+ lim 2 lim x

1+ 2

1 +

2 1

3

x→1

x→1

x→1

Пример 2.

Вычислить

lim

x2 − 2x +1

.

− 2

x→1 x3 − 2x2 +3x

lim

x2 − 2x +1

=

0

= lim

(x −1)2

= lim

x −1

=

0

= 0 .

0

2 − x +

2

2

x→1 x3 − 2x2 +3x − 2

x→1

(x −1)(x2 − x + 2)

x→1 x

Пример 3.

Вычислить

lim

x3 + x

.

x6 + x5 + x2

Решение.

x→0

x3 + x

x(x2 +1)

x2 +

lim

=

0

= lim

= lim

1

=

1

= ∞.

x6 + x5

+ x2

0

x(x5 + x4 + x)

+ x

0

x→0

x→0

x→0 x5 + x4

Пример 4.

Вычислить

lim

x2 + x +1

.

Решение.

x→∞ x4 + x2 + x +

3

x2 + x +1

1 x2

+1 x3 +1 x4

lim

=

∞

= lim

=

0

= 0 .

+ x2 + x +

∞

+1

x2 +1 x3 +3 x4

1

x→∞ x4

3

x→∞ 1

Пример 5.

Вычислить

lim

x5 + x4

.

Решение.

x

→∞ x3 + 2x + x

x5 + x4

+1 x

lim

=

∞

= lim

1

=

1

= ∞.

∞

x4

0

x→∞ x3 + 2x + x

x→∞ 1 x2 +1 x3 +1

Пример 6.

Вычислить

lim

x3 +3x2 + x

.

Решение.

x

→∞ x −3x2 − 2x3

x3 +3x2 + x

x +1 x

2

∞

1+

3

1

1

.

lim

=

= lim

=

= −

∞

−3 x −

− 2

2

x→∞ x −3x2 − 2x3

x→∞ 1 x2

2