72
Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
Определение 1. Пустым называется множество, которое не содержит ни одного элемента.
Пусть даны два множества A и B .
Определение 2. Объединением двух множеств A и B называется множество, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B :
C = A B .
Определение 3. Пересечением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A , так и множеству B :
C = A ∩ B .
Если A ∩ B = , то говорят, что множества A и B не пересекаются.
Определение 4. Если каждый элемент множества A является одновременно и элементом множества B , то множество A называется подмноже-
ством множества B :
A B .
Определение 5. Пусть множество A является подмножеством множества B . Тогда дополнением B / A множества A на множество B называется множество, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству B , но не принадлежат множеству A .
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. В противном случае его называют бесконечным.
§ 2. Функции и их классификация
Рассмотрим два множества X и Y .
Определение. Соответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется единственный элемент из множества Y , называет-
ся функцией y = f (x) . При этом имеется в виду, |
что для любого элемента y |
( y Y ) существует элемент x ( x X ) такой, что |
f (x) = y . |
Множество X называется областью определения, а множество Y – областью значений функции y = f (x) .
Существуют различные способы задания функций:
73
1) |
с помощью диаграмм (рис. 3.1): |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
2) |
с помощью таблиц (табл.3.1): |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
x4 |
|
|
y |
|
y1 |
|
y2 |
|
y3 |
|
y4 |
3) аналитический (с помощью формулы): y = x2 .
Если к формуле не дописываются дополнительные условия, то областью определения функции, задаваемой этой формулой, считается множество всех значений переменной x , при которых эта формула имеет смысл.
Пример.
а) y = x2 ( x > 0 ).
D(x) = (0; + ∞ ).
б) y = x2 .
D(x) = (−∞; + ∞ ).
4) графический (рис. 3.2):
y |
|
|
y0 |
M |
y = f (x) |
O |
x0 |
x |
|
Рис. 3.2 |
|
74
Определение. 1) Функция y = f (x) называется четной, если для
любых x и − x , принадлежащих множеству X , выполняется: f (x) = f (−x) .
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
2)Функция y = f (x) называется нечетной, если для
любых x и − x , принадлежащих множеству X , выполняется: f (−x) = − f (x) .
График нечетной функции центрально симметричен относительно начала координат.
3)Функция y = f (x) называется периодической, если
существует такое число T , что для любого x X выполняется соотношение: f (x ±T ) = f (x) ,
при этом наименьшее положительное из всех таких чисел T называется периодом функции.
Элементарные функции
1) y = C − const (рис. 3.3).
Область определения:
D(x) = (− ∞; + ∞ ).
y
C |
y = C |
O |
x |
Рис. 3.3
2)y = xn – степенная функция.
а) n N . |
|
Область определения: D(x) = (− ∞; + ∞ ) (рис. 3.4, 3.5). |
n = 2k |
y |
n = 2k −1 y |
|
y = x3 |
y = x2
O x
O x
Рис. 3.4 |
Рис. 3.5 |
75
б) n N .
y |
|
|
n = −1 |
– гипербола |
y = |
1 . |
|
|
y = x |
||||
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
Область определения: |
|
||
O |
1 |
x |
D(x) (−∞; 0 ) (0; + ∞ ). |
|||
n = 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
y = x . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Область определения: |
|
||
Рис. 3.6 |
|
D(x) [0; + ∞ ) |
(рис. 3.6). |
|||
3)y = ax – показательная функция.
y |
|
Область определения: a > 0 , a ≠1, |
|
a >1 |
x (−∞; + ∞ ) (рис. 3.7). |
||
|
Если a >1, функция возрастает, если 0 < a <1, функция убывает.
0 < a <1
1
O |
x |
Рис. 3.7
4)y = loga x – логарифмическая функция.
y |
Область определения: a > 0 , a ≠1, |
a >1 |
x (0; + ∞ ) (рис. 3.8). |
Если a >1, функция возрастает, если 0 < a <1, функция убывает.
O |
1 |
x |
0 < a <1
Рис. 3.8
5)Тригонометрические функции:
y = sin x . Область определения: x (−∞; + ∞ ), период T = 2π (рис. 3.9).
y = cos x .
y = tg x .
y= ctg x .
−π− π2
76
y |
1 |
|
|
y = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
π |
|
2π |
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
|
|
Область определения: x (−∞; + ∞ ), период T = 2π |
|||||
|
(рис. 3.10). |
|
|
|
|
|
|
|
y |
y = cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
π |
O |
π |
π |
3π |
x |
2 |
−1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
|
|
|
|
Область определения: |
x ≠ π +πk , |
k Ζ (точки раз- |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
рыва). Период T =π (рис. 3.11). |
|
|
|||
|
Область определения: |
x ≠ πk , k Ζ (точки разрыва). |
||||
|
Период T =π (рис. 3.12). |
|
|
|||
y |
|
y = tg x |
y |
|
y = ctg x |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
−π |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
π |
|
||
O |
π |
x |
− |
O π |
x |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
Рис. 3.12 |