Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf

Скачиваний:

250

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3730 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

103

19.9 Производная степенно-показательной функции

Определение. Функция вида

y = [f (x)]g ( x) , f (x) > 0 ,

где и основание, и показатель изменяются вместе с независимой переменной,

называется степенно-показательной.

Найдем ее производную y′.

1) Прологарифмируем данную функцию:

ln y = ln[f (x)]g ( x) = g(x) ln f (x) .

2) Продифференцируем полученное тождество. С одной стороны:

(ln y)′ = 1y y′.

С другой стороны:

′

(g(x) ln f (x)) = g′(x) ln f (x)

+ g(x)

f ′(x) .

f (x)

Следовательно:

′

y y

f (x)

= g (x) ln f (x) + g(x)

(x)

′

g(x)

′

y (x) = y g (x) ln f (x) +

f (x)

g ( x)

g(x)

= [f (x)]

g′(x) ln f (x) +

f ′(x) .

f (x)

Операция, состоящая в последовательном применении к функции f (x)

сначала логарифмирования (по основанию e ), а затем дифференцирования,

называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат

	′	′
		f (x)
[ln	f (x)] =
		f (x)

– логарифмической производной от функции f (x) .

Пример 3. y = (sin x)x . Найти y′.

Решение.

1)ln y(x) = ln(sin x)x = x ln sin x .

2)С одной стороны: (ln y(x))′ = 1y y′;

С другой стороны:		(ln y(x))′ = (x ln sin x)′ = x′ ln sin x + x (ln sin x)′ =
= ln sin x + x	1		cos x = ln sin x + x ctg x .
	sin x
			y′ = (sin x)x [ln sin x + x ctg x].
Следовательно,

104

19.10 Дифференцирование неявной функции

Определение. Неявной функцией y независимой переменной x на-

зывается функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x и y и не разрешенного относительно y .

Уравнение функции, заданной неявно, имеет вид
F(x; y) = 0 .	(3)

Пусть функция задана неявно уравнением (3). Тогда производную от этой функции можно найти, дифференцируя по x обе части уравнения с учетом того, что y есть функция от x (определяемая этим уравнением).

Пример 4. Дана функция x cos y + x	2	arcsin y +1 = 0	′
			. Найти y (x) .

Решение. x :

отсюда

Функция задана неявно. Дифференцируем обе части уравнения по

x′ cos y + x (cos y)′x + (x2 )′ arcsin y + x2 (arcsin y)′x = 0 ,

′

1 cos y + x (−sin y) y

2x arcsin y + x

1− y2 y

= 0 ,

y′ = − cos y + 2x arcsin y

= cos y + 2 y arcsin y .

− x sin y

x sin y −

− y2

1− y2

19.11 Производные высших порядков

Допустим, что функция y = f (x) имеет производную f ′(x) в некотором интервале независимой переменной x . Производная от f ′(x) (если она

существует) называется производной второго порядка или второй производ-

ной от первоначальной функции f (x) и обозначается f ′′(x) :

		′		f	′	x) − f	′
′′	′	′	lim	f	(x +	x) − f	(x)	.
′′	′
f (x) = [f	(x)] =					x
			x→0			x

Таким же образом производной третьего порядка или третьей производной

′′′
f (x) от функции y = f (x) называется производная от производной второго
порядка.
Определение. Производной n -го порядка		f (n) (x) называется произ-
водная от производной (n −1) -го порядка
f (n) (x) = [f (n−1) (x)]′ = lim	f (n−1) (x +	x) − f (n−1) (x)	.

x→0		x

Все свойства, которые имеют место для первой производной функции, сохраняются и для второй производной и для производной n -го порядка.

105

Пример 5.

y = xn , y′ = n xn−1 , y′′ = n (n −1) xn−2 , …, y(k ) = n (n −1) ... (n − k +1) xn−k .

19.12 Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия основных неопределенностей вида 00 и

∞∞ , основанный на применении производных.

Теорема 1 (Правило раскрытия неопределенностей вида 00 ).

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0 и

обращаются в

нуль в

этой

точке:

f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть

′

(x)

g (x) ≠ 0 в окрестности точки

x0 . Если существует

предел lim

, то

′(x)

f (x)

f ′(x)

x→x0

lim

= lim

g(x)

x→x0

g′(x)

Замечание 1. Теорема 1 верна и в том случае, когда функции

f (x) и g(x)

не определены при x = x0 , но

lim f (x) = 0 и lim g(x) = 0 . Достаточно поло-

x→x0

жить f (x0 ) = lim f (x) = 0 и g(x0 ) = lim g(x) = 0 .

x→x0

Замечание 2.

Теорема 1 справедлива и в том случае, когда x → ∞.

Замечание 3. Если производные f ′(x) и g′(x) удовлетворяют тем же условиям что и функции f (x) и g(x) , теорему 1 можно применить еще раз:

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

= lim

f ′′(x)

g(x)

Пример 6.

x→x0

g′(x)

x→x0

g′′(x)

lim ln(1 + x) =

= lim (ln(1 + x))′ = lim

1 + x

=1.

x→0

x′

x→0

Пример 7.

lim

x − x cos x

= lim

(x − x cos x)′ = lim 1 − cos x + x sin x =

x→0 x − sin x

x→0

(x − sin x)′

x→0

1 − cos x

(1 − cos x + x sin x)

′

= lim 2 sin x + x cos x

= lim

x→0

(1 − cos x)′

x→0

sin x

x→0

tg x

106

= 2 + lim

x′

= 2 + lim cos2 x = 2 +1 = 3 .

tg x

(tg x)′

x→0

Теорема 2 (Правило раскрытия неопределенностей вида ∞ ).

∞

Пусть функции f (x)

и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

(кроме,

может

быть,

точки

x0 ),

этой

окрестности

′

f (x)

, то

lim f (x) = lim g(x) = ∞, g (x) ≠ 0 . Если существует предел lim

g′(x)

x→x0

f (x)

f ′(x)

x→x0

lim

= lim

g(x)

x→x0

g′(x)

Замечание 4.

Теорема 2 справедлива и в том случае, когда x → ∞.

Пример 8.

lim

tg x

∞

= lim

(tg x)′

= lim

1 cos2 3x

lim

1 + cos 6x =

∞

(tg 3x)′

cos2 x 3

x→π tg 3x

x→π

1 + cos 2x

(1 + cos 6x)′

lim

− 6 sin 6x =

lim sin 6x =

′

x→ 2

(1 + cos 2x)

3 x→ 2

− 2 sin 2x

x→ 2

sin 2x

= lim

(sin 6x)′

= lim

6 cos 6x

= 3.

2 cos 2x

x→π

(sin 2x)′

x→π

Неопределенности вида 0 ∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00 сводятся к двум основным неопределенностям путем тождественных преобразований.

● Пусть f (x) → 0 , g(x) → ∞ при x → x0 . Тогда очевидны следующие преобразования:

lim (f (x) g(x))=

0 ∞

= lim

f (x)

x→x0

g(x)

или

lim (f (x) g(x))=

0 ∞

= lim

g(x)

∞

x→x0

∞

f (x)

Пример 9.

lim(x2 ln x)=

0 ∞

= lim

ln x

∞

= lim

(ln x)′

= lim

1 x

1 x2

(1 x2 )′

− 2 x3

x→0

∞

x→0

107

=− 1 lim x2 = 0 . 2 x→0

●Пусть f (x) → ∞, g(x) → ∞ при x → x0 . Тогда очевидны следую-

щие преобразования:

−

g(x)

(x)

lim (f (x) − g(x))=

∞ − ∞

= lim

−

= lim

x→x0

f (x) g(x)

Пример 10.

ex −1

− x

(ex −1 − x)′

lim

−

∞ − ∞

= lim

x(ex −1)

= lim

(x(ex

x→0 x

−1

x→0

−1))′

= lim

−1

= lim

(ex

−1)′

= lim

= 1 .

+ x

x→0 ex −1 + xex

x→0 (ex −1 + xex )′

x→0 ex (2 + x)

x→0

● Пусть

f (x) →1

g(x) → ∞,

или

f (x) → ∞ и

g(x) → 0 ,

или

f (x) → 0

g(x) → 0

при

x → x0 .

Для

нахождения

пределов

вида

lim f (x)g ( x) удобно сначала прологарифмировать выражение A = f (x)g ( x) .

x→x0

Пример 11. Найти lim(sin x)x .

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Логарифмируем выражение A = (sin x)x , получим:

ln A = ln(sin x)x = x ln sin x .

Найдем предел:

ln sin x

∞

(ln sin x)′

lim ln A = lim(x ln sin x) =

0 ∞

= lim

1 x

∞

(1 x)′

x→0

x2 cos x

cos sin x

= lim

= −lim

= −lim x cos x

= 0 .

−1 x2

sin x

x→0

sin x

Получили lim ln A = 0 , следовательно, ln lim A = 0 , отсюда lim A = e0 =1.
x→0	x→0	x→0

●Решение можно оформить короче, если воспользоваться формулой

lim f (x)g ( x)		lim	g ( x)ln f ( x)
lim f (x)g ( x)		= ex→x0	.
x→x0
1	tg x
Пример 12. Найти lim	.
x→0 x

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3730 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб250КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб178КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9037Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf