2.2 Определители третьего порядка

Замечание. Все свойства 1 – 7 определителей второго порядка остаются справедливыми и для определителей 3-го порядка.

Определение. Пусть дан определитель третьего порядка

Минором определителя третьего порядка, соответствующим элементу aij , на-

зывается определитель второго порядка, получающийся из данного “вычеркиванием” i -й строки и j -го столбца.

Минор, соответствующий элементу aij , принято обозначать Mij . Так, например, минор M12 , соответствующий элементу a12 , есть определитель

Аналогично формуле (5), дающей разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки, можно получить разложение по элементам любой его строки или столбца.

12

Например, разложение определителя по элементам второй строки можно получить из формулы (2), используя свойство 2 определителей:

= a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 .

Этот результат можно сформулировать следующим образом.

Свойство 8. Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Свойство 9. Сумма попарных произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) этого же определителя равна нулю.

Доказательство. Свойство докажем для алгебраических дополнений элементов второй строки определителя.

Рассмотрим сумму попарных произведений вида

b1 A21 + b2 A22 + b3 A23 ,

где b1 , b2 , b3 – некоторые произвольные числа. По свойству 8 определителей имеем

или a31 , a32 , a33 соответственно, то в правой части этого соотношения полу-

чим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю. Аналогично поступают и с алгебраическими дополнениями элементов других строк и столбцов определителя.

2.3 Понятие об определителях высших порядков

Во многих задачах кроме определителей второго и третьего порядков встречаются также определители более высоких порядков. Например, определитель четвертого порядка

13

и вообще определитель n -го порядка

Определитель четвертого порядка есть число, получающееся следующим образом:

Аналогично вычисляются определители более высоких порядков.

Замечание. Все свойства определителей 1 – 9 остаются справедливыми для определителей любого порядка.

Замечание. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя выгодно разложить его по элементам этой строки (столбца). Если такой строки (столбца) нет, то, используя свойство 7 определителей, его можно преобразовать так, чтобы он имел такую строку (столбец).