Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf

Скачиваний:

250

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Замечание. Говорят, что линия является линией 1-го или 2-го порядка, если она описывается алгебраическим уравнением 1-го или соответственно – 2-го порядка.

§2. Прямая на плоскости

2.1Общее уравнение прямой и его исследование

Выведем уравнение прямой линии в Декартовой системе координат. Рассмотрим на плоскости произвольную прямую l . Пусть даны некоторая ее

точка M0 ( x0 ; y0 )	и вектор N = {A; B }, N l (рис. 2.2). Этот вектор называ-
ется нормальным вектором прямой l .
Точка M0	и вектор N полностью определяют положение прямой l на
плоскости xOy .		Пусть M ( x ; y)	– любая точка прямой
y		Пусть M ( x ; y)	– любая точка прямой
y		→
		l . M0 M = {x − x0 ; y − y0 }. По		условию
M	r	N l . Поэтому
	N	r	→
		N M0 M = 0 .		(1)
M0		Уравнение (1) называется векторным урав-
O		нением прямой l .
O		x
		Выражая скалярное произведение век-
Рис. 2.2		→
Рис. 2.2		торов N и M0 M в соотношении (1) в коор-
динатном виде, получим		торов N и M0 M в соотношении (1) в коор-
динатном виде, получим
		A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .		(2)

Полученное уравнение является уравнением прямой l , т.к. координаты лю-

бой точки M l удовлетворяют ему, а если точка плоскости M1 (x1; y1 )	не
лежит на прямой l , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (2),	т.к.
→
вектор M0 M1 в этом случае не перпендикулярен вектору Nr .
Формула (2) – уравнение прямой, проходящей через данную точку пер-
пендикулярно заданному вектору.
Раскроем скобки в уравнении (2). Получим
Ax + By + C = 0 ,	(3)
где C = −Ax0 − By0 .

Уравнение прямой в плоскости xOy является уравнением первой степени относительно x и y .

Покажем и обратное, что любое уравнение 1-й степени Ax + By + C = 0 есть уравнение некоторой прямой, лежащей в плоскости xOy .

Действительно, в уравнении (3) A ≠ 0 или B ≠ 0 (иначе C = 0 ). Пусть например, B ≠ 0. Тогда (3) можно записать в виде

A(x − 0) + B( y +CB) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку (0; −CB) , перпендикулярно вектору Nr = {A; B }.

Итак, любое уравнение 1-й степени определяет на плоскости прямую.

Определение. Уравнение (3) называют общим уравнением прямой на плоскости.

Коэффициенты A , B , C позволяют определить положение прямой на плоскости.

Если C = 0 , прямая проходит через начало координат.

Если A = 0 , прямая параллельна оси Ox , если B = 0 , прямая параллельна оси Oy .

2.2 Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой

Рассмотрим на плоскости xOy произвольную прямую l (рис. 2.3). Ее

y			положение полностью определяется задани-
			ем какой-либо ее точки M0 (x0 ; y0 ) и вектора
			s = {m; n }, параллельного этой прямой, или
M	sr		лежащего на ней. Вектор sr					называется на-
			правляющим вектором прямой l .
	M0		Пусть M ( x ; y) – произвольная точка
							→
O		x	прямой l . Тогда вектор M					0 M коллинеарен
			вектору s и значит имеем уравнение

	Рис. 2.3			x − x0	=	y − y0	.	(4)
				m		n

Уравнение (4) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

2.3Уравнение прямой, проходящей через данную точку

взаданном направлении. Пучок прямых

Пусть дана прямая l , принадлежащая плоскости xOy , пересекающая ось Ox в точке A (рис. 2.4).

y		l	Углом α между осью Ox и прямой l
y		l	называют наименьший угол, на который
			нужно повернуть вокруг точки A против ча-
		α	совой стрелки ось Ox до совпадения ее с
		α	прямой. Если прямая параллельна оси Ox
O	A	x	прямой. Если прямая параллельна оси Ox
O	A	x	или совпадает с ней, то α = 0 .

Рис. 2.4

Рассмотрим прямую l , принадлежащую плоскости xOy , непараллельную оси Oy . Ее положение вполне определяется заданием угла α между

осью Ox и прямой l и точки M0 (x0 ; y0 ) , лежащей на прямой. В качестве на-
правляющего вектора sr возьмем единичный вектор					sr = cosα ir + cos β j .
Т.к. cos β = cos(90o −α) = sinα , то s = {cosα ; sinα }.
Имеем
	x − x0	=	y − y0	– каноническое уравнение прямой l .

	cosα		sinα
Отсюда
	y − y0 = tgα (x − x0 ) , или
	y − y0 = k ( x − x0 ) .				(5)

Формула (5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

k – угловой коэффициент прямой l .

Замечание. Если прямая l параллельна оси Oy (α = 90o ), то для нее угловой коэффициент не определен и уравнение прямой не может быть записано в виде (5).

Определение. Множество всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку M0 этой плоскости, называется пучком прямых, а

точка M0 – центром пучка.

Уравнение (5), в котором k принимает всевозможные значения, определяет пучок прямых с центром в точке M0 (x0 ; y0 ) за исключением прямой

x = x0 .

2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть точки M0 (x0 ; y0 ) и M1 (x1; y1 ) лежат на прямой l . Тогда можно

определить прямую l . Действительно,						пусть sr			= M	→			= {x − x		; y − y		}.
определить прямую l . Действительно,						пусть sr			= M	0	M	1	= {x − x		; y − y	0	}.
Тогда имеем										0		1	1	0	1	0
Тогда имеем
	x − x0			=	y − y0			.							(6)
				=				.							(6)
	x	− x	0		y	− y	0
1			0		1		0

Формула (6) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

2.5 Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть дана прямая, составляющая угол α с осью Ox и пересекающая ось Oy в точке B(0;b) . Тогда из уравнения

y − y0 = k ( x − x0 )

имеем уравнение

B(0; b)

y = kx + b .

(7)

(7) – уравнение прямой с угловым коэффи-

циентом.

Рис. 2.5

Число

определяет отрезок,

отсекае-

мый прямой l

на оси Oy (рис. 2.5).

Пусть даны прямые l1 и l2 , которые пересекаются в точке M (рис. 2.6).

Их уравнения

l1 :

y = k1x + b1 ,

α2

l2 :

y = k2 x + b2 .

Найдем tgϕ .

α1

Пусть прямая l1 образует с осью Ox

угол α1 ,

прямая l2

– угол α2 . Тогда

ϕ =α2 −α1 , следовательно,

tgα2 − tgα1

Рис. 2.6

tgϕ = tg (α2 −α1 ) =

Отсюда

1 + tgα2 tgα1

k2 − k1

tgϕ =

(8)

+ k

Если прямые l1

и l2 параллельны, то α1 =α2 , следовательно,

k1 = k2 и

наоборот.

Равенство k1 = k2 – признак параллельности прямых l1 и l2 .

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то формула (8) теряет смысл.

Однако		1 + tgα2 tgα1		1 + k2 k1 .
ctgϕ = ctg (α2	−α1 ) =	1 + tgα2 tgα1	=	1 + k2 k1 .
		tgα2 − tgα1		k2 − k1

ctg 90o = 0 , следовательно,

k1 k2 = −1 – признак перпендикулярности прямых l1 и l2 .

2.6 Уравнение прямой в отрезках

Предположим, что в общем уравнении прямой Ax + By +C = 0 коэф-

фициенты A , B , C отличны от нуля. Перенесем C в правую часть уравнения и разделим обе части полученного уравнения на −C . Получим

−AC x + −BC y =1.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб250КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб178КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9037Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf