Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf

Скачиваний:

250

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

§3. Плоскость

3.1Общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz .

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость α , для которой известны точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , лежащая в плоскости, и вектор n = {A; B; C }, перпендикулярный плоскости. Вектор n называется нормальным вектором плоско-

сти. Положение плоскости α			в пространстве вполне определяется точкой
M0 и вектором n (рис. 2.10).			Действительно, пусть M (x; y ; z)
z			Действительно, пусть M (x; y ; z)
z			произвольная точка плоскости α . Оче-
	α	r	видно, что точка M лежит в данной
M 0		r	плоскости тогда и только тогда, когда
M 0		n	→
			векторы M0 M и n перпендикулярны, а

Mзначит их скалярное произведение равно нулю:

O	y		→	r	= 0 .	(1)
x		→	M0 M n		= 0 .	(1)
x		→	{x − x0 ; y − y0 ; z − z0 },			а
		Т.к. M0 M =	{x − x0 ; y − y0 ; z − z0 },			а
	Рис. 2.10	n = {A; B; C },	то	из	соотношения	(1)
получаем уравнение
	A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 ,					(2)

которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Раскроем в уравнении (2) скобки и введем	обозначение
D = −( Ax0 + By0 +Cz0 ) . Тогда уравнение (2) примет вид
Ax + By +Cz + D = 0 .	(3)

Таким образом, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (3), т.е. уравнением первой степени относительно текущих координат x , y и z .

Обратно: очевидно, что в уравнении (3), по крайней мере, один из коэффициентов A , B , C не равен нулю. Предположим для определенности, что B ≠ 0 . Тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом:

A(x −0) + B( y + D B) +C(z −0) = 0 .

(4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3) и определяет в пространстве

плоскость, проходящую через точку M1 (0; − D B; 0) и перпендикулярную вектору nr = {A; B; C }.

Итак, можно сделать вывод, что всякое уравнение вида (3), т.е. уравнение первой степени относительно текущих координат x , y и z , определяет в

пространстве некоторую плоскость.

Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости.

3.2 Неполные уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости (3) называется полным, если все его коэффициенты A , B , C , D отличны от нуля. В противном случае его называют

неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.

1)	D = 0 ; уравнение Ax + By +Cz = 0 определяет плоскость, проходя-
щую через начало координат.
2)	A = 0 ; уравнение By +Cz + D = 0	определяет плоскость,	параллель-
ную оси Ox . Аналогично, уравнение		Ax +Cz + D = 0 ( B = 0 )	определяет
плоскость, параллельную оси Oy , а уравнение Ax + By + D = 0			( C = 0 ) –
плоскость, параллельную оси Oz .
3)	A = B = 0 ; уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную
плоскости Oxy . Аналогично, уравнение		Ax + D = 0 ( B = C = 0 )	определяет
плоскость, параллельную плоскости Oyz , а уравнение By + D = 0			( A = C = 0 )

–плоскость, параллельную плоскости Oxz .

4)A = B = D = 0 ; уравнение Cz = 0 определяет координатную плоскость Oxy . Аналогично, уравнение Ax = 0 ( B = C = D = 0 ) определяет координат-

ную плоскость Oyz ,

а уравнение

By = 0

( A = C = D = 0 ) – координатную

плоскость Oxz .

3.3

Уравнения плоскости в отрезках

Рассмотрим полное уравнение (3). Т.к. в таком уравнении ни один из

коэффициентов A , B ,

C , D не равен нулю, то его можно переписать в виде

=1.

−

Полагая

для

краткости − D = a ,

− D = b ,

−

= c , получаем

=1.

(5)

Уравнение

(5)

называется уравнением

плоскости в отрезках и удобно для построения

Рис. 2.11

плоскости (рис. 2.11).

3.4 Нормальное уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz

(рис. 2.12). Рассмотрим в пространстве неко- z торую плоскость α , для которой заданы точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , лежащая в плоскости, и нор-

αмальный вектор n0 , удовлетворяющий услови-

M0		ям:	n0	– единичный, т.е.		nr0	=1;
nr0		1)	n0	– единичный, т.е.		nr0	=1;
nr0		2)	n0	направлен от начала координат т. O
O	y	в сторону плоскости.					вектор, то
x		Т.к.	n0	–	единичный		вектор, то
x		n0 = {cosα ; cos β ; cosγ }. Тогда из уравнения
Рис. 2.12		n0 = {cosα ; cos β ; cosγ }. Тогда из уравнения
Рис. 2.12		(2) получаем
(x − x0 ) cosα + ( y − y0 ) cos β + (z − z0 ) cosγ = 0 .
Последнее уравнение можно переписать в виде
	x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 ,						(6)
где p = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ .

Уравнение (6) называется нормальным или нормированным уравнением плоскости. Значение p равно расстоянию от начала координат т.O до плос-

кости.


Замечание. Для	того,	чтобы	общее	уравнение		плоскости
Ax + By +Cz + +D = 0	привести к нормальному виду (6), необходимо умно-
жить его почленно на нормирующий множитель μ = ±						1	. Знак
жить его почленно на нормирующий множитель μ = ±					A2 + B2 +C2		. Знак

нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена D .

3.5Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности

ипараллельности двух плоскостей

Рассмотрим две плоскости α и β , заданные соответственно уравне-

ниями

A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 .

Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 2.131). Угол ϕ между нор-

мальными векторами данных плоскостей nα и nβ , очевидно, равен одному из

указанных смежных двугранных углов. Поэтому косинус угла между плоскостями α и β определяется формулой

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб250КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб178КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9037Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf