8

которую называют транспонированной к матрице A .

6. Элементарные преобразования матриц.

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1)умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2)прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3)перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4)отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Если матрица B получена из матрицы A с помощью элементарных преобразований, то ее называют эквивалентной матрице A и пишут A ~ B . Заметим, что эквивалентные матрицы, вообще говоря, не равны друг другу.

§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления

2.1 Определители второго порядка

Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу:

Числа a11 , a12 , a21 , a22 называют элементами определителя.

Учитывая приведенные выше определения, можно сказать, что определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, равное разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и на побочной диагоналях матрицы.

Пример 1.

9

Свойства определителей второго порядка

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

Следствие. Все свойства определителя, имеющие место для его строк, остаются верными и для столбцов определителя.

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент i -й строки (столбца) определителя равен сумме двух чисел, то его можно представить в виде суммы двух определителей. В i -й строке (столбце) первого из них будут стоять первые из вышеуказанных слагаемых, в i -й строке (столбце) второго – вторые слагаемые. Все остальные элементы этих определителей равны соответствующим элементам исходного определителя:

Свойство 7. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины: