113

меняет в точке x0 свой знак с “–” на “+”. Следовательно, по теореме 4 функция f (x) имеет в точке x0 минимум.

Теорема 6 (необходимое условие существования экстремума функ-

ции в точке). Пусть функция f (x) имеет в точке x0 экстремум. Тогда производная f ′(x) либо равна нулю в точке x0 , либо не существует. Доказательство. Если в точке x0 функция достигает экстремума, скажем

максимума, то значение функции в этой точке является наибольшим ее значением в некоторой окрестности точки x0 . Но по теореме Ферма в тех внут-

ренних точках интервала, в которых дифференцируемая функция достигает своего наибольшего значения, ее производная равна нулю. Аналогично проводится рассуждение и для точки минимума.

существует.

Теорема. Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b ]. Тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значе-

ний на этом отрезке либо в критических точках 1-го порядка, либо на концах отрезка.

Пример 6. Дана функция f (x) = 3x4 + 4x3 +1. Найти ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке [− 2; 1 ].

Решение. Найдем критические точки. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

в окрестности этой точки график этой функции лежит по одну сторону от касательной, построенной к графику функции в точке x0 .

Определение 2. Функция f (x) называется выпуклой вверх или просто выпуклой, если ее график в окрестности точки x0 лежит ниже касательной, построенной к графику в точке x0 по отношению к оси Ox .

114

Определение 3. Функция f (x) называется выпуклой вниз или вогнутой, если ее график в окрестности точки x0 лежит выше касательной, построенной к графику в точке x0 по отношению к оси Ox .

Теорема 1 (признаки выпуклости (вогнутости) функций).

1) Функция f (x) будет являться выпуклой вверх на некотором отрезке [a; b ], если вторая производная в любой внутренней точке этого отрезка

принимает отрицательные значения.

2) Функция f (x) будет вогнутой на отрезке [a; b ], если вторая производная

в любой внутренней точке этого отрезка принимает положительные значения.

Определение 4. Точка x0 называется точкой перегиба функции f (x) , если она меняет в ней характер выпуклости.

Теорема 2 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если x0 – точка перегиба функции f (x) , то либо f ′′(x0 ) = 0 , либо f ′′(x0 ) не существует.

19.17 Формула Тейлора

Пусть функция f (x) определена в точке x = a и некоторой ее окрестности и (n +1) раз дифференцируема в этой точке. Тогда справедливо представление:

Представление (6) называется формулой Тейлора.

Это разложение справедливо для любой точки из окрестности точки x = a . Можно доказать, что