14

§ 3. Обратная матрица и ее вычисление

Рассмотрим теперь так называемую обратную матрицу, понятие которой вводится только для квадратной матрицы.

Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для нее называется матрица, обозначаемая A−1 и удовлетворяющая условию

Замечание. Можно доказать, что если выполняется равенство (1), то одновременно выполняется и равенство

A−1 A = E .

Определение. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. Если же определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

Пример 1.

Лемма. Если A и B – две квадратные матрицы одного порядка, то

A B = A B .

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица A−1 . Покажем, что в этом случае матрица A должна быть невырожденной, т.е. A ≠ 0. Действительно, если бы A = 0, то

A A−1 = A A−1 = 0 .

Но это невозможно, т.к. A A−1 = E =1.

2) Достаточность. Для простоты проведем доказательство для матрицы третьего порядка. Пусть

Покажем, что в этом случае существует обратная матрица.

В самом деле, пусть Aij – алгебраическое дополнение элемента aij . Матрица A−1 , обратная матрице A , получается следующим образом:

15 1. Составим матрицу D , заменяя в матрице A каждый ее элемент aij алгеб-

и, следовательно, обратная матрица существует.

Решение. Найдем определитель матрицы A :

§4. Системы линейных алгебраических уравнений

иметоды их решения

Величины a11 , a12 , …, akn называются коэффициентами данной системы линейных алгебраических уравнений. Краткое обозначение – aij , где i

ем системы (1), если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвест-

17

ных x1 , x2 , …, xn все уравнения системы обращаются в тождества.

Система (1) может не иметь решений, иметь одно решение или бесконечное множество решений.

Решить систему – значит найти все ее решения или показать, что решений нет.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система линейных уравнений называется неопределенной, если решений больше, чем одно.

Замечание. Однородная система линейных алгебраических уравнений всегда совместна.

4.1 Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений

Применим рассмотренное в § 1 правило умножения матриц к так называемому матричному способу записи уравнений.

Рассмотрим матрицу системы и матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов: