- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
97
19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
Зададим две функции одной и той же переменной t ; обозначим их через x и y :
x = x(t) , y = y(t) . |
(*) |
Задание этих функций означает задание функциональной зависимости между переменными x и y . В самом деле, для каждого значения t (в неко-
торой области) из системы (*) находятся значения x и y , которые и являются соответствующими друг другу.
Определение. Задание функциональной зависимости между двумя переменными, состоящее в том, что обе переменные определяются каждая в отдельности как функция одной и той же вспомогательной переменной, называется параметрическим, а вспомогательная переменная – параметром.
Отыскание по системе (*) непосредственной связи между переменными x и y без участия переменной t называется исключением параметра.
Пример 2.
x = t,
Пусть функция задана параметрическим уравнениями:
y = cos t.
Исключая параметр t , получим y = cos x .
Замечание. Не всегда можно провести операцию исключения параметра. Например, если хотя бы одна из функций системы (*) постоянна.
Теорема. |
Пусть функция |
y = f (x) , определенная в |
O(x0 ) , задается |
|||||||||||||||||
параметрическими уравнениями |
x = x(t), |
где |
x(t) |
и y(t) |
– |
дифференци- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = y(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
руемые функции в точке t0 |
|
( x0 = x(t0 ) ), причем функция x(t) |
монотонна в |
|||||||||||||||||
O(t0 ) . Тогда функция y = f (x) |
дифференцируема в точке x0 и имеет место |
|||||||||||||||||||
следующая формула: |
|
|
|
|
|
yt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y′x = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
y |
|
t |
|
|
lim |
|
|
yt′(t) |
|
|
|
|
|||||
y′x = lim |
= lim |
|
= lim |
t |
|
= |
t→0 |
t |
= |
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
x′(t) |
|
|
|
|||||||||
x→0 |
x→0 |
x |
|
t |
x→0 |
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(функция x = x(t) |
– дифференцируема, следовательно, непрерывна, следова- |
|||||||||||||||||||
тельно, функция |
|
t = t(x) – непрерывна, следовательно, lim |
t = 0 ). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
19.6 Геометрический смысл производной
Определение. Касательной M 0T к линии L в ее точке M 0 (рис. 3.20) называется предельное положение прямой, проходящей через точ-
ку M 0 и другую точку |
M линии, когда эта точка M стремится слиться с |
||||||||||||||
данной точкой M0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. |
Если значение производной от функции y = f (x) |
при x = x0 |
|||||||||||||
равно f ′(x0 ) , то прямая, |
проведенная через точку M0 (x0 ; y0 ) с угловым ко- |
||||||||||||||
эффициентом, |
равным |
f ′(x0 ) , является касательной к графику функции в |
|||||||||||||
точке M0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Проведем через точку M0 |
(рис. 3.20) прямую M0T с уг- |
||||||||||||||
ловым коэффициентом |
f ′(x0 ) , это значит, что |
f ′(x0 ) = tgα , где α – угол на- |
|||||||||||||
y |
|
T |
|
|
|
клона прямой |
M0T к оси абс- |
||||||||
|
|
|
|
цисс. Придадим затем x0 при- |
|||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|||||||||
y0 + y |
|
|
|
|
|
ращение |
x , |
|
возьмем |
точку |
|||||
|
|
M |
|
|
|
M , лежащую на графике |
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
||||||||||
M 0 |
|
|
|
|
|
функции |
и соответствующую |
||||||||
y0 |
|
R |
|
|
|
значению |
аргумента |
x0 + x , |
|||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
проведем секущую M0 M . Уг- |
|||||||||
α |
|
|
|
|
|
|
ловой коэффициент этой секу- |
||||||||
x0 |
x0 + x |
|
|
x |
щей равен |
|
RM |
|
= |
y , где |
|||||
O |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
M0 R |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
Рис. 3.20 |
|
|
|
y = f (x0 + x) − f (x0 ) . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь |
x → 0 , то- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
гда точка M будет стремиться по линии L к точке M 0 . Секущая M0 M при |
|||||||||||||||
этом поворачивается вокруг точки M0 |
и ее угловой коэффициент стремится |
||||||||||||||
по условию теоремы к определенному пределу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
lim |
y = |
f ′(x0 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
||
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равному угловому коэффициенту прямой M0T . По формуле для тангенса уг- |
|||||||||||||||
ла между двумя прямыми ( M0T и M0 M ) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
f ′(x0 ) − |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
tg TM 0 M = |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1+ f ′(x0 ) |
y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
В силу равенства (*) при |
x → 0 числитель дроби стремится к нулю, а зна- |
менатель – к числу 1+[f ′(x0 )]2 ≠ 0 . Поэтому tg TM0 M стремится к нулю, а значит, и сам TM 0M тоже стремится к нулю. Таким образом, прямая M 0T является касательной.
99
Геометрический смысл производной. Значение производной f ′(x0 ) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой x0 .
19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
Составим уравнение касательной к линии l , являющейся графиком функции y = f (x) в ее точке M0 (x0 ; y0 ) , где y0 = f (x0 ) (рис. 3.21). Т.к. каса-
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельная проходит через точку M0 (x0 ; y0 ) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
и имеет угловой коэффициент, равный |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x0 ) , то ее уравнение имеет вид |
|
|
|||||||||||||
|
|
y0 |
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) . |
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. |
Нормалью к линии |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ее точке M0 называется прямая, про- |
|||||||||||||||||
|
|
O |
|
|
|
|
x0 |
|
x |
|
|
|
|
ходящая |
|
через точку M 0 перпендику- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лярно касательной данной линии, по- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.21 |
|
|
|
|
|
|
строенной в точке M0 . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. нормаль к линии l в точке M 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
проходит через точку |
M0 (x0 ; y0 ) и имеет угловой коэффициент, |
равный |
||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
1 |
|
, то ее уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y |
0 |
= − |
|
|
(x − x ) . |
|
|
|
(2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x0 ) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
19.8 |
Дифференцирование элементарных функций |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. |
|
y = C – const : |
y′ = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
lim |
y = |
lim |
|
y(x + |
x) − y(x) |
= lim |
|
0 |
= 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|||||||||
2. |
|
y = ax : |
|
|
|
y′ = ax ln a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
= lim ax+ x − ax = ax |
lim a x |
−1 |
|
|
|
a |
x −1 = t, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
= |
|
x = loga (t +1), |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
x → 0, t |
→ 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= a x lim |
|
t |
= (*) = |
|
|
1 |
|
|
|
ax = |
|
|
1 |
|
|
a x = a x ln a . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
loga e |
|
|
ln e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t→0 loga (t +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
(*): |
|
|
|
loga (t +1) |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
→ loga e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
loga (t +1) = loga (t +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
(a |
′ |
|
|
|
|
|
ln a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
) = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
y = ex : |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = ex |
|
|
(частный случай п.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
y = loga x : |
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
loga (x + |
|
|
x) −loga x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ = lim |
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
log |
1+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x x |
|
|
1 |
|
loga e == |
1 |
|
ln e |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
lim loga 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
ln a |
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Таким образом, |
(loga |
x)′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
y = ln x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 1x |
|
(частный случай п.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
y = sin x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y′ = lim sin(x + |
|
x) −sin x = |
|
|
sinα −sin β = 2sin α − β |
cos α + β |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2sin |
x |
cos |
2x + |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
lim cos x + |
x |
=1 cos x = cos x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x)′ = cos x . |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. |
y = cos x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = −sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y′ = lim cos(x + |
x) −cos x |
= |
|
|
cosα −cos β = −2sin α − β sin |
α + β |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2sin |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
sin x + |
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
= − lim |
lim sin x + |
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
x→0 |
|
|||
= −1 sin x = −sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
(cos x)′ = −sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. y = tg x : |
|
|
|
y′ = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
′ |
sin x |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
sin x |
|
|||
|
|
|
|
|
(sin x) |
cos x −(cos x) |
|
|||||||||||||||
y |
′ |
= (tg x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
cos x cos x +sin x sin x |
= |
cos2 |
x +sin2 |
x |
= |
|
1 |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
cos2 x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101
2x =
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, (tg x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
y = ctg x : |
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= − sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
′ cos x |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x) sin x −(sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
′ |
|
(ctg x) = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
−sin x sin x −cos x |
cos x |
= |
−sin2 x −cos2 x |
|
= − |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
sin2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, (ctg x) |
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. |
y = arcsin x : |
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
1− x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Доказательство. Пусть |
|
|
y = arcsin x , |
тогда |
x = sin y |
– обратная функция. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
(x( y))′ = cos y . Следовательно, |
по теореме о производной обратной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(y(x)) = |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(x( y))′ |
|
cos y |
1−sin2 y |
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, (arcsin x)′ = |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102
Замечание. Корень берется со знаком “+”, потому что значения функции y = arcsin x лежат в интервале (−π2; π2), а cos y в этом интервале положи-
телен. При y = ±π 2 , т.е. для x = ±1 |
производной не существует, хотя сама |
||||||||||||||||||||||||
функция y = arcsin x в этих точках определена. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11. |
y = arccos x : |
|
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= − |
1− x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Доказательство. |
Пусть |
|
y = arccos x , тогда |
x = cos y |
|
– обратная функция. |
|||||||||||||||||||
Следовательно: |
′ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(y(x)) |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
= − |
|
|
. |
|
||||||||
|
(x( y))′ |
|
−sin y |
|
1−cos2 y |
|
1− x2 |
||||||||||||||||||
Таким образом, (arccos x)′ = − |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
y = arctg x : |
|
|
y′ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Доказательство. |
Пусть |
|
y = arctg x , |
тогда |
x = tg y |
– |
обратная функция. |
Следовательно:
′ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||||
(y(x)) |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= cos |
|
|||
(x( y))′ |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, (arctg x) |
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
1+ x2 |
|
|
||||||||||
13. y = arcctg x : |
|
y |
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= −1 |
+ x2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Доказательство. Пусть y = arcctg x , тогда Следовательно:
y = |
|
1 |
= |
|
1 |
. |
|
|
+ tg2 y |
|
+ x2 |
|
|||
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ctg y – обратная функция.
′ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
(y(x)) |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
= −sin |
|
y = − |
|
= − |
|
. |
|
(x( y))′ |
− |
|
1 |
|
|
|
1+ ctg2 y |
1+ x2 |
||||||||
|
|
sin2 y |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
(arcctg x) = − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. y = xn : |
|
y′ = n xn−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
Пусть y = xn , |
тогда xn = eln x n |
= en ln x . Следовательно: |
|||||||||||||
(xn )′ = (en ln x )′ = en ln x (n ln x)′ = n en ln x (ln x)′ = n en ln x 1 |
= n xn x−1 = n xn−1 . |
|||||||||||||||
|
(xn )′ = n xn−1 . |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|