Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf

Скачиваний:

250

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3736 37 > Следующая >>>

						129
Следовательно, 1 (x −1) +1 ( y −1) −1 (z −1) = 0 ,					x + y − z −1 = 0 – уравне-
ние касательной плоскости.
2) Найдем уравнение нормали.	x −1		y −1		z −1
sr ={1;1; −1}, следовательно,		=		=		– уравнение нормали.
	1				−1
		1

21.11 Экстремум функции нескольких переменных

Пусть дана функция двух переменных z = z(x; y) .

Определение. Точка M0 (x0 ; y0 ) называется точкой минимума (мак-

симума) функции z = z(x; y) , если z0 = z(x0 ; y0 ) есть наименьшее (наибольшее) значение функции z = z(x; y) в некоторой окрестности точки M0 .

Теорема (необходимые условия существования экстремума в точке).

Пусть функция z = z(x; y)

имеет в точке M0 экстремум, т.е. max или min .

Тогда

дz

= 0 .

= 0 ,

дx

M 0

дy

M 0

Теорема (достаточные условия существования экстремума в точке).

Пусть для функции z = z(x; y) выполняются условия:

дz

= 0 ,

дz

= 0 ;

дx

M 0

дy

M 0

д2 z

II.

дx2

дx дy

(производные подсчитаны в точке M

д2 z

дy дx

дy2

Тогда, если

> 0 ,

A =

д2 z

> 0 ,

то в точке M0

функция z

= z(x; y) имеет

дx2

минимум;

д2 z

если

> 0 ,

A =

< 0 ,

то в точке M 0

функция z

= z(x; y) имеет

дx2

максимум;

если

= 0 , то требуются дополнительные исследования;

если

< 0 ,

то экстремума нет.

Замечание. Точки, для которых выполняется пункт I теоремы, называются

стационарными точками функции z = z(x; y) .

Пример 5. Найти экстремумы функции z = 4 (x − Решение. Найдем стационарные точки данной функции.

дz	= 4 − 2x ,	дz	= −4 − 2 y .
дx		дy

y) − x2 − y2 .

					130
дz	= 0,
дx	= 0,	4 − 2x = 0,		x = 2,	– стационарная точка.
дx			− 4 − 2 y = 0,		– стационарная точка.
дz	= 0,		− 4 − 2 y = 0,	y = −2.
дy	= 0,
дy

Выясним характер стационарной точки.

д2 z

′

д2 z

′

д2 z

дx2

= −2 ,

= (4 − 2x) y

= 0 ,

= (−4 − 2 y) x

= 0 ,

дy2

= −2 .

дx дy

дy дx

Таким образом, имеем:

− 2

= 4 > 0 ,

следовательно, т.к. A = −2 < 0 , данная функция имеет

− 2

максимум в точке (2; − 2) , равный z = 8.

Пример 6. Найти экстремумы функции

z = 2xy −3x2 − 2z2 +10 .

Решение. Найдем стационарные точки данной функции.

2xy −3x2 − 2z2 +10 − z = 0 F(x; y ; z) = 2xy −3x2 − 2z2 +10 − z .

дz

= −

дF дx

дz

= −

дF дy

дx

дF дz

дy

дF дz

дF

= 2 y −6x ,

дF

= 2x ,

дF

= −4z −1.

дx

дy

дz

Тогда:

дz =

6x − 2 y

2 y −6x ,

дz

дy

4z +1

дx

− 4z −1 4z +1

дz

= 0,

2 y −6x

= 0,

2 y −6x = 0,

x = 0,

дx

4z +

2x = 0,

–

стационар-

дz

= 0,

y = 0.

ная точка

дy

≠ −1 4,

4z +1

д2 z

2 y −6x ′

−6(4z +1) − 4z′x (2 y −6x)

−6(4z +1) −

(2 y −6x)2

4z +1

дx2

(4z +1)2

4z +1 x

6(4z0 +1)

M 0

= − (4z0 +1)2

= −

4z0 +1

д2 z

2 y −

′

2(4z +1) − 4z′y (2 y −6x)

2(4z +1) − 4

(2 y −6x)

4z +1

дx дy

(4z +1)2

4z +1 y

M 0

4z0 +1

131

д2 z

дy дx

4z0 +1

0 (4z +1) − 4z′y 2x

д2 z

′

= 0 .

дy2

(4z +1)2

4z +1

M 0

−

4z0 +1 4z0 +1

< 0 , таким образом, экстремума нет.

= −

(4z0 +1)2

4z0 +1

21.12Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных

ГОпределение. Двумерная область называется замкнутой, если она включает границу Г, и открытой, ес-

Рис. 3.29

Пример 7.

ли не включает (рис. 3.29).

Теорема. Непрерывная функция z = z(x; y) дости-

гает своего наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области D , причем они достигаются либо в стационарных точках, либо на границе области D – кривой Г.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + 2xy − 4x +8y	в прямоугольнике, ограниченном
прямыми x = 0 , y = 0,	x =1, y = 2 .

Решение. Найдем стационарные точки данной функции.

Г2

y = 2

дz

= 2x + 2 y − 4 ,

дz

= 2x +8 .

дz

дx

дy

= 0,

дx

2x + 2 y − 4

= 0,

x = −4,

Г1

Г3

= 0,

дz

= 0,

2x +8

y = 6.

дy

x =1

Но точка M0 (−4; 6) D . Следовательно, данная

Г4

функция достигает своего наименьшего и наи-

большего значений на границе Г (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Имеем:

Г = Г1 Г2 Г3 Г4 .

1) Г1 :

x = 0 , y [0; 2 ].

Г1

= 8y =ϕ1( y) , y [0; 2 ].

ϕ1′( y) = 8 ≠ 0 , следовательно, критических точек нет.

132

ϕ1(0) = 0 , ϕ1(2) =16 .

2) Г2 :		y = 2 , x [0;1 ].
z		= x2 + 4x − 4x +16 = x2 +16 = f (x) , x [0;1 ].

	Г2	1

′
f1	(x) = 2x = 0 x = 0 .
f1	(0) =16 , f1(1) =17 .
3) Г3 :		x =1, y [0; 2 ].
z	Г3	=1 + 2 y − 4 +8 y =10 y −3 =ϕ2 ( y) , y [0; 2 ].

ϕ2′( y) =10 ≠ 0 , следовательно, критических точек нет.

ϕ2 (0) = −3, ϕ2 (2) =17 .

4) Г4 :		y = 0 , x [0;1 ].
z	Г4	= x2 − 4x = f	2	(x) , x [0;1 ].


f2′(x) = 2x − 4 = 0 x = 2 [0;1 ].
f2 (0) = 0 , f2 (1) = −3.
Таким образом, min z(x; y) = −3 ,					max z(x; y) =17 .
		D			D

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3736 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб250КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб178КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9037Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf