36
§ 8. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением векторов ar и br называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла ϕ между ними:
ar b = ar b cosϕ .
Свойства скалярного произведения векторов.
1) |
r |
r |
= |
|
r |
|
|
|
r |
|
cosϕ = |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
b |
|
a |
|
|
b |
|
|
a |
|
прar b = |
b |
|
прbr a . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)ar br = br ar.
3)λ (ar br)= (λ ar) br = ar (λ b ).
4)(ar + br) cr = (ar cr)+ (br cr).
Доказательство:
(ar + br) cr = cr прcr (ar + b )= cr (прcr ar + прcr b )= cr прcr ar + cr прcr b = = ar cr + b cr.
5) |
r |
r |
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
или |
|
b = 0 , |
|
или ϕ = 90o . |
|
|
|
|||||||||||||||
a |
b = 0 |
|
a |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Следствие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Для того, чтобы векторы a и b , не равные 0, были перпендикулярны, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
необходимо и достаточно, чтобы |
ar b = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6) |
r |
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
cos 0 |
o |
= |
|
|
r |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
a = |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8.1 |
|
Выражение скалярного произведения |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
через координаты перемножаемых векторов |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть даны два вектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; b }. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar = {a |
x |
; a |
y |
; a |
z |
} |
и b = {b ; b |
y |
|
|
|
|||||||||||
|
Найдем ar b : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ar = ax ir + ay rj + az k , |
|
|
|
b = bx i + by j + bz k , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ar br = |
(a |
x |
ir + a |
y |
rj + a |
z |
k ) (b ir +b |
y |
rj +b k )= a |
x |
b ir |
ir |
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
|
x |
|
|
||||||
+ ay bx j ir + az bx k i + ax by i j + ay by j rj + az by kr j + + ax bz ir kr + ay bz j k + az bz k k = ax bx + ay by + az bz .