46

Обозначив

− C

= a , − C

= b , придем к уравнению

A

B

y

x

y

=1.

(9)

a + b

B(0;b)

Уравнение (9) называется уравнени-

ем прямой в отрезках. Это название объ-

b

ясняется тем, что числа a и b определяют

отрезки, которые прямая отсекает на осях

O

A(a ; 0)

координат,

считая

от

начала координат

a

x

(рис. 2.7). Такой вид уравнения удобен для

построения прямой. Заметим, что прямые,

Рис. 2.7

параллельные координатным осям, и пря-

мые, проходящие через начало координат,

не могут быть описаны уравнениями в отрезках.

2.7 Нормальное уравнение прямой

Пусть на

плоскости задана прямоугольная система координат Oxy .

y

Рассмотрим на плоскости прямую l ,

для

которой известны точка M0 l и вектор

l

нормали N0 , удовлетворяющий условиям:

M0

1)

N0

– единичный, т.е.

Nr0

=1;

Nr

D

2)

N0

направлен от начала координат

0

т.O в сторону прямойrl

(рис. 2.8).

то

α

Т.к.

вектор

N0

единичный,

x

N0 = {cosα ; sinα },

где

α

–

угол между

O

Рис. 2.8

вектором

N0 и осью Ox .

Тогда согласно

(2)

данная

прямая

будет

описываться

уравнением

(x − x0 ) cosα + ( y − y0 ) sinα = 0 ,

или

x cosα + y sinα − p = 0 ,

(10)

→

r

→

r

p = x0 cosα + y0 sinα = OM0

N0

=

OM0

N0

cosϕ ,

→

где ϕ – угол между векторами OM0 и N0 . Но

N0

=1. Отсюда

мирующий множитель μ = ±

1

. Знак нормирующего множителя вы-

A2 + B2

бирается противоположным знаку свободного члена C .

2.8 Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости

Oxy заданы прямая Ax + By +C = 0 и точка

y

d =

M0 M1

.

Рассмотрим скалярное произведение век-

l

N

тора

→

и нормального

вектора прямой

M1

M0 M1

N =

{A; B }.

M 0

По определению скалярного произведения

имеем

O

x

→

r

→

r

Рис. 2.9

M0 M1 N =

M0M1

N

cosϕ ,

→

где ϕ – угол между векторами M0 M1

и N . Т.к. эти векторы коллинеарны, то

угол между ними равен либо 0, либо π . Отсюда

→

r

→

r

r

M0 M1 N =

M0 M1

N

(±1)

= ±d

N

.

С другой стороны,

→

r

+ By1 −( Ax0 + By0 ) .

M0 M1 N = A(x1 − x0 ) + B( y1 − y0 ) = Ax1

Но точка M0 (x0 ; y0 )

лежит на прямой l ,

поэтому ее координаты удовлетво-

ряют уравнению этой прямой:

Ax0 + By0 +C = 0 . Отсюда Ax0 + By0 = −C .

Учитывая это, получим

→

r

= Ax1 + By1 +C ,

откуда

M0 M1 N

Ax

+ By +C

Ax1 + By1 +C

d = ±

d =

1

r

1

,

или

.

A2 + B2

N