93

Теорема 3 (о промежуточном значении). Пусть функция

f (x) не-

прерывна на отрезке [a; b ] и max

f (x) = M ,

min

f (x) = m . Тогда для лю-

x [a ; b]

x [a ; b]

бого числа c [m; M ] существует x [a; b ] такое, что f (x) = c .

X

Y

Определение 3. Пусть

дана

функция

y = f (x) . Тогда обратной функцией для

f (x)

f (x)

называется функция f −1( y) : для любого

y Y

x

y

выполняется f −1( y) = x , где f (x) = y

(рис. 3.19).

f −1( y)

Теорема 4.

Пусть функция f

(x) опреде-

Рис. 3.19

лена и непрерывна на отрезке [a; b ] и является

на всем этом отрезке либо возрастающей функ-

цией, либо убывающей. Тогда обратная функция x = f −1( y)

будет непрерыв-

ной на отрезке [c; d

], где [c; d ] – множество значений функции

f (x) .

стояние s , проходимое телом за каждое данное время t , т.е.

нам известно

расстояние s

как функция времени t :

s = s(t) .

Уравнение s = s(t) называется уравнением движения,

а определяемая

им линия в системе осей Ots – графиком движения.

t от некото-

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени

рого момента t

до момента t + t . За это время t

тело прошло путь s = s(t) , а

за время t +

t

– путь

s + s = s(t + t) . Значит,

за t единиц времени оно

прошло путь

s = s(t + t) − s(t) .

Если движение равномерное, то s есть линейная функция t :

s = v0t + s0 .

В этом случае

s = v

t , и отношение

s = v показывает,

сколько единиц

0

t

0

какое взято приращение времени t . Это постоянное отношение

s

назы-

вают скоростью равномерного движения.

t

94

Но если движение неравномерное, то отношение

s

зависит и от t , и

t

v

ср

=

s .

t

Определение 1. Скоростью

v прямолинейного движения в данный

момент времени t

называется предел средней скорости vср, соответствующей

интервалу (t ; t +

t ), при стремлении

t к нулю:

v = lim v

= lim

s = lim

s(t +

t) − s(t)

.

t →0 ср

t →0

t

t →0

t

′

f (x + x) − f (x)

f

(x) = lim

.

x

x→0

ция f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности O(x0 )

и диффе-

ренцируема в этой точке (т.е. имеет производную). Тогда функция

f (x) не-

прерывна в этой точке.

Доказательство.

lim

f

=

f

= lim

f

lim

x = f ′(x0 ) 0

= 0 ,

lim

x

x

x

x→0

x→0

x→0

x→0

следовательно, f (x) непрерывна в точке x0 .

19.2

Основные свойства производной

Теорема 1.

Пусть

функции f (x) ,

g(x)

дифференцируемы.

Тогда

функция f (x) ± g(x) будет дифференцируема и

′

′

′

( f (x) ± g(x) )

= f (x) ± g (x) .

Доказательство.

( f (x + x) ± g(x + x)) −( f (x) ± g(x))

′

( f (x) ± g(x) ) = lim

x

=

x→0

= lim [ f (x +

x) − f (x)] ±[g(x +

x) − g(x)] =

x→0

f (x + x) − f (x)

x

g(x + x) − g(x)

′

′

= lim

± lim

=

f (x) ± g (x) .

x

x

x→0

x→0