Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf

Скачиваний:

250

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3735 36 37 > Следующая >>>

124

21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала

Рассмотрим функцию z = z(x; y) . Тогда полный дифференциал

dz =

дz

x + дz

y .

дx

дy

Полное приращение функции z = z(x; y) имеет вид:

z = дz x +

дz

y +α(x; y) = dz +α(x; y) ,

дx

дy

где α(x; y) – б/м функция при x → 0 , y → 0 . Тогда

z ≈ dz .

z = z(x0 + x; y0 + y) − z(x0 ; y0 ) z(x0 + x; y0 + y) − z(x0 ; y0 ) ≈ dz

z(x +

x; y

+ y) ≈ z(x

; y

) +

дz

x + дz

y .

(1)

дx

x=x0

дy

x=x0

y = y0

Формула (1) – формула приближенных вычислений с помощью полного дифференциала.

21.7 Производные высших порядков функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f (x; y) . Пусть она имеет в какой-нибудь об-

ласти частные производные
дz	=	fx′(x; y) ,	дz	=	f y′(x; y) .
дx			дy

Эти производные, в свою очередь, являются функциями независимых переменных x и y . Частные производные от этих функций называются вторыми

частными производными или частными производными второго порядка от данной функции z = f (x; y) . Каждая производная первого порядка имеет две

частные производные; таким образом, мы получаем четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются так:

д дz

д2 z

′′

дz

д2 z

′′

дx2

fxx = zxx ;

дx дy

= fxy = zxy ;

дx

дy

дx

дz

= f ′′

= z′′

;

=z f ′′

= z′′ .

дy дx

дy

дx

дy

Производные

′′

называются смешанными; одна из них получается

fxy

f yx

дифференцированием функции сначала по x , затем по y , другая, наоборот, – сначала по y , затем по x .

Пример 2. Найти все частные производные второго порядка функции z = xy .

Решение.
дz			′		1
	=	x		=		;

дx					y
	y x

д2 z				x			′	2x
			−					=	3 ;
	2				2
дy		=		y
						y		y

дz

′

= −

дy

y y

′

= −

дx дy

;

y12 ;

125

′

= 0

;

дx

д2 z

′

−

= −

2 .

дy дx

Теорема Шварца. Пусть дана функция двух переменных z = f (x; y) .

Тогда, если она имеет непрерывные смешанные частные производные второго порядка, то они равны между собой:

д2 z

дx дy

дy дx

21.8 Сложная функция двух переменных.

Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим

дифференцируемую

функцию

z = f (u ; v) ,

где

u = u(x) ,

v = v(x)

– дифференцируемые функции независимой переменной

x . Тогда

функция z является сложной функцией переменной x :

z = F(x) = f (u(x); v(x)) .

Выразим производную

через частные производные

дz

и дz .

дu

дv

Дадим аргументу x

приращение

x . Тогда u и v получат соответст-

венно приращения

u и

v , через которые

z выразится по формуле

z =

дz

u +

дz

v +α(u ; v) ,

дu

дv

где α(u ; v) – б/м функция

u → 0 ,

v → 0 .

Разделим обе части этой формулы на

x :

дz

+ α(u ; v)

дu

дv

= du ,

и перейдем

к пределу

при

x → 0 .

Согласно

условию

lim

= dv

x→0

lim

. Имеем:

x→0

дz

v + 0 ,

lim

x→0

x дu

x→0

дv

x→0

dxdz = ддuz dudx + ддvz dvdx .

Определение. Пусть	дана функция z = f (u ; v) , где u = u(x; y) ,
v = v(x; y) . Тогда функция	z называется сложной функцией от двух пере-

––––––––––––––––––––––––––––––––––

126

менных x и y :

z(x; y) = z(u(x; y) , v(x; y)) .

Теорема. Пусть дана дифференцируемая функция z = f (u ; v) , где u = u(x; y) , v = v(x; y) – дифференцируемые функции. Тогда частные произ-

водные ддxz и ддyz находятся по формулам:

ддxz = [z(u(x; y), v(x; y))]x′ = ддuz ддux + ддvz ддvx , ддyz = [z(u(x; y), v(x; y))]y′ = ддuz ддuy + ддvz ддyv .

21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
Рассмотрим уравнение F(x; y) = 0 , где y = y(x) :
F(x; y(x)) = 0 .	(2)

В этом случае говорят, что функция y = y(x) задана неявно.

Левую часть уравнения (2) можно рассматривать, с одной стороны, как функцию двух переменных x и y , с другой стороны – как функцию одной

переменной x .

Дифференцируя по правилу дифференцирования сложной функции,

найдем:

формула

полной

произ-

дF

–

дx

+ дy

= дx +

дy dx

водной сложной функции.

Имеем:

дF

dy = −

формула вычисления про-

= 0

дx

–

изводной неявной функции

дx

дy

дF

дy

Рассмотрим уравнение F(x; y ; z) = 0 ,

где z = z(x; y) . Найдем частные

производные

дz

, дz

неявно заданной функции.

Имеем:

дx

дy

дF

dx +

дF

dy +

дF

дz = 0

дF

дz = 0

дz = −

дF дx

дx dx

дy dx дz

дx

дx дz

дx

дF дz

Аналогично получаем:

ддyz = − ддFFддyz .

127

21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства

Определение 1. Плоскость, проходящая через точку M 0 поверхности,

называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку M0 и любую точку M по-

верхности, стремится к нулю, когда точка M стремится к точке M0 .

Определение 2. Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности, построенной в данной точке.

Определение 3. Пусть дана функция F = F(x; y ; z) . Тогда градиен-

том от функции F называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным функции F :

→	дF	;	дF	;	дF
grad F =						.
	дx		дy		дz

Свойства градиента

→→

1)grad (u1 +u2 ) = grad u1 + grad u2 ;→

→	→	где C – постоянная;
2) grad Cu1	= C grad u1 ,	где C – постоянная;
→	→	→

3)grad(u1u2 ) = u2 grad u1 +u1 grad u2 ;

→→

4)grad f (u) = f ′(u) grad u ;

5)градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания функции.

Пусть дана функция F(x; y ; z) . Уравнение F(x; y ; z) = 0 задает в про-

странстве некоторую поверхность. Выведем уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 ; y0 ; z0 ) к этой поверхности:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 ,

где nr ={A; B; C} – вектор нормали.

В качестве вектора нормали можно взять вектор-градиент:

→

дF

;

дF

;

дF

nr = grad F =

дx

дy

дz

M 0

Таким образом,

дF

(x − x0 ) +

дF

( y − y0 ) +

дF

(z − z0 ) = 0 .

(3)

дx

M 0

дy

M 0

дz

M 0

Формула (3) – уравнение касательной плоскости.

Выведем уравнение нормали:

x −mx0 = y −ny0 = z −pz0 ,

где s ={m; n; p } – направляющий вектор.

В качестве направляющего вектора можно взять вектор-градиент:

→

дF

;

дF

; дF

= grad F =

дx

дy

дz

M 0

Таким образом,

x − x0

y − y0

z −

дF

дx

дz

дy

M 0

Формула (3) – уравнение нормали к поверхности.

128

(3)

Пример 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности

z + xy −ln x − 2 = 0 в точке M0 (1;1;1) .

Решение.

1) Найдем уравнение касательной плоскости.

F(x; y; z) = z + xy −ln x − 2 .

дF

= (z + xy −ln x − 2)x′

= y − 1 ,

дF

(z + xy −ln x − 2)y′ = x ,

дF

=1.

дz

дx

дy

→

= {0; 1; 1},

n = {0;1;1}.

grad F = y −

; x;1

M 0

Следовательно,	0 (x −1) +1 ( y −1) +1 (z −1) = 0 ,						y + z − 2 = 0 – уравнение
касательной плоскости.
2) Найдем уравнение нормали.		x −1		y −1		z −1
sr ={0;1; 1},	следовательно,		=		=		– уравнение нормали.
		0
			1		1

Пример 4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = xy в точке M0 (1;1;1) .

Решение.

1) Найдем уравнение касательной плоскости. xy − z = 0 , F(x; y; z) = xy − z .

дF	= (xy − z)x′	= y ,		дF		= (xy − z)y′ = x ,
				дy
дx
→
grad F ={y ; x; −1}			M 0		=	{1;1; −1},

ддFz = (xy − z)z′ = −1. n = {1; 1; −1}.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3735 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб250КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб178КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9037Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf

21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала

21.7 Производные высших порядков функции двух переменных

21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции

21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства