- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
4
Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
Определение. Матрицей размером m ×n называется совокупность m n чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
a11
a21
...
am1
числа aij , i =1,..., m , j =1,..., n
мер строки, j – номер столбца).
a |
... |
a |
|
|
|
12 |
|
|
1n |
|
|
a22 |
... |
a2n |
, |
||
... |
... |
... |
|
||
|
|
||||
a |
... |
a |
|
|
|
m2 |
|
|
mn |
|
|
называются элементами матрицы (i – но-
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется
прямоугольной.
Для матриц приняты следующие обозначения:
|
a |
a |
|
B = |
|
b |
|
b |
b |
|
|
|
|
, мat A . |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = |
11 |
12 |
, |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
|
|
|
||||||
|
a |
21 |
a |
22 |
|
|
|
|
b |
|
b |
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
|
|
|
|
||
Матрица вида |
(a11 |
|
a12 ... |
|
|
a1n ) |
называется матрицей-строкой, а |
||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица вида |
– матрицей-столбцом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть A – квадратная матрица порядка n , т.е. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
... |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 ... |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|||||||||||
Числа a11, |
a22 , ..., |
ann |
называют главной диагональю матрицы A , а |
||||||||||||||||
числа a1n , a2 n −1, |
..., |
an1 |
– побочной диагональю. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали – единицы, а остальные – нули:
––––––––––––––––––––––––––––––––––
© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2008
5
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
|
||||
E = |
|
... |
... |
... |
. |
... |
|
||||
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
|
||||
Нулевой называется матрица, все элементы которой – нули.
Две матрицы A и B называются равными ( A = B ), если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов (т.е. одинакового размера) и их соответствующие элементы равны.
Так, если |
a |
a |
|
и |
b |
b |
|
, то равенство A = B |
означа- |
||
A = 11 |
12 |
|
B = 11 |
12 |
|
||||||
|
a |
21 |
a |
22 |
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
||
ет, что a11 = b11 , a12 = b12 , a21 = b21 , |
a22 = b22 . |
|
|
|
|
|
||||
|
Операции над матрицами |
|
|
|
|
|||||
1. Сложение матриц. |
Суммой двух матриц A и B одного размера называ- |
|||||||||
ется матрица C того же размера, каждый элемент которой равен сумме соот- |
||||||||||
ветствующих элементов матриц A и B . |
|
|
|
|
|
|
||||
Например, если |
a |
a |
a |
|
b |
b |
b |
|
, то |
|
A = 11 |
12 |
13 |
и |
B = 11 |
12 |
13 |
|
|||
|
a |
a |
a |
23 |
|
b |
b |
b |
|
|
|
21 |
22 |
|
|
21 |
22 |
23 |
|
|
|
a |
+ b |
a |
+ b |
a |
+ b |
|
|||
A + B = |
11 |
11 |
a |
12 |
12 |
a |
13 |
13 |
. |
a |
21 |
+ b |
22 |
+ b |
23 |
+ b |
|
||
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
|||
|
Кратко правило сложения матриц можно записать |
так: |
A + B = C , |
||||
cij = aij + bij , i =1, 2, ..., m , j =1, 2, ..., n . |
|
|
|
||||
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 1 2 2 +1 3 + 2 |
|
3 5 |
|
|
||
|
+ |
= |
|
= |
. |
|
|
|
1 0 3 1 1 + 3 0 +1 |
|
4 1 |
|
|
||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
2 4 1 1 |
+ |
2 2 + 4 3 +1 |
3 6 |
4 |
|
|
+ |
= |
+ |
|
= |
|
. |
|
2 4 5 |
3 0 5 2 |
3 4 + 0 5 + 5 |
5 4 10 |
|||
Свойства операции сложения.
1.A + B = B + A – переместительный закон.
2.(A + B)+ C = A + (B + C) – сочетательный закон.
3.Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел:
A +O = A.
6
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число μ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число μ .
a |
a |
a |
|
|
|
Например, если A = 11 |
12 |
13 |
, то |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
μ a |
μ a |
μ a |
|
|
A μ = μ A = |
11 |
|
12 |
13 |
. |
|
μ a21 |
μ a22 |
μ a23 |
||
Замечание. При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.
3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одного размера A и B можно определить следующим образом:
C = A − B = A + (−1) B .
4. Умножение матриц. |
Произведением матрицы |
A на матрицу B называ- |
|||||||||||||
ется матрица C = A B , |
каждый элемент которой cij равен сумме попарных |
||||||||||||||
произведений соответствующих элементов |
i -й строки матрицы A и j -го |
||||||||||||||
столбца матрицы B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
||
Например, если A = |
11 |
12 |
|
и B = 11 |
12 |
, то |
|
||||||||
|
a |
21 |
a |
22 |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|||||
|
a |
|
b |
+ a |
|
b |
a |
b |
+ a |
|
b |
|
|||
C = A B = |
11 |
11 |
|
12 |
21 |
a |
11 |
12 |
12 |
22 |
. |
||||
|
a |
21 |
b |
+ a |
22 |
b |
21 |
b |
+ a |
22 |
b |
|
|||
|
|
11 |
|
|
21 |
|
12 |
|
22 |
|
|||||
Матрица A называется матрицей-множимым, матрица B – матрицей-
множителем, C – матрицей-произведением.
Замечание. Для перемножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы-множимого совпадало с числом строк матрицымножителя. При этом матрица-произведение содержит столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет мат- рица-множитель.
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 1 0 |
1 |
2 |
|
|
2 |
1 +1 1 + 0 1 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 +1 1 +1 1 |
|||||||||||
|
3 1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
a |
|
|
|
x |
a |
|
x |
+ a |
|
x |
2 |
|
||||||
|
11 |
12 |
|
|
1 |
= |
|
11 |
|
1 |
12 |
|
. |
|||||||
a |
21 |
a |
22 |
|
|
x |
2 |
a |
21 |
x |
+ a |
22 |
x |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
2 2 +1 1 + 0 1 |
|
3 |
5 |
3 2 +1 1 +1 1 |
= |
5 |
8 . |
7
Пример 5.
Пусть |
1 |
2 |
|
0 |
2 |
|
||
A = |
4 |
5 |
, |
B = |
3 |
1 |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
||||
A B = |
1 |
2 0 |
2 6 |
4 |
|||
4 |
5 3 |
1 |
= |
15 13 , |
|||
B A = |
0 |
2 |
1 |
2 8 |
10 |
||
3 |
1 |
4 |
5 |
= |
7 |
11 . |
|
Как видно из последнего примера, порядок перемножения матриц играет существенную роль.
Свойства операции умножения матриц.
1.A B ≠ B A .
2.A (B C)= (A B) C – сочетательный закон.
3.(A + B) C = A C + B C – распределительный закон относительно сло-
жения.
4.При умножении любой квадратной матрицы A на единичную матрицу того же порядка E снова получится матрица A :
A E = E A = A.
Замечание. Произведение любой матрицы на нуль-матрицу есть нульматрица. Но в отличие от чисел (как известно, произведение двух, отличных от нуля чисел не равно нулю) произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
Пример 6.
Если |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
A = |
, |
B = |
−1 |
, |
|
|
1 |
1 |
|
−1 |
|
то |
A B = |
1 |
1 1 |
1 0 0 |
|
|
|||
1 |
1 −1 −1 |
= 0 |
0 . |
|
|
||||
5. Транспонирование матрицы. |
Пусть дана матрица |
||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
|
|
A = |
a21 |
|
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
. |
|
|
|
|
|
am1 |
|
am2 |
... |
amn |
|
Если в данной матрице сделать все строчки столбцами с теми же номерами, то получим матрицу