62

§6. Преобразование системы координат на плоскости

6.1Параллельный перенос осей координат

Пример 1.

Дано уравнение линии y = 2x2 − 4x .

Получить уравнение этой линии после переноса O → O′(1; − 2 ) .

Решение.

Упростить уравнение этой кривой с помощью преобразования параллельного переноса осей координат.

Решение.

63

( y′+b)2 + (x′+ a)2 − 2(x′+ a) + 4( y′+b) − 2 = 0 ,

y′2 + 2 y′b +b2 + x′2 + 2x′a + a2 − 2x′− 2a + 4 y′+ 4b − 2 = 0 , y′2 + x′2 + y′(2b + 4) + x′(2a − 2) + (b2 + a2 − 2a + 4b − 2) = 0 .

Выберем a и b так, чтобы

y′2 + x′2 = 7 – это окружность радиуса 7 с центром в точке O′(1; − 2 ) .

Преобразование параллельного переноса позволяет упростить уравнение кривой второго порядка за счет сокращения первых степеней переменных в новой системе координат.

6.2 Поворот осей координат на угол α

Рассмотрим ДСК на плоскости: совершим поворот осей координат на угол α против часовой стрелки (α > 0 – против часовой стрелки, α < 0 – по часовой стрелке) (рис. 2.21).

Таким образом, при повороте осей координат имеют место соотношения:

Выразим новые координаты через старые. Для этого рассмотрим соотношения (3) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x′ и y′.

По методу Крамера имеем:

С помощью преобразования поворота осей координат уравнение второго порядка можно приводить к более простому виду, при этом удаляются члены, содержащие смешанное произведение xy .

Пример 3.

Дано уравнение линии 5x2 −6xy +5 y2 −32 = 0 . Упростить уравнение этой кривой.

Решение.

Совершим поворот осей координат на некоторый угол α против часовой стрелки:

x = x′ cosα − y′ sin α,y = x′ sin α + y′ cosα.

Подставим в данное уравнение:

5(x′ cosα − y′ sinα)2 −6(x′ cosα − y′ sinα)(x′ sinα + y′ cosα) +

Заметим, что эти значения tgα соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, взяв tgα =1 вместо tgα = −1, мы только меняем ролями оси X ′ и Y ′.