3 Ускорение точек тела при его плоском движении

Ранее показано, что движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух движений: поступатель­ного движения фигуры вместе с полюсом и ее вращения вокруг полюса.

Ускорения точек плоской фигуры определяются следующей теоре­мой: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

Для установления этой зависимости допустим, что известны уско­рение некоторой точки О плоской фигуры и алгебраические вели­чины угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры и , т. е. кроме модулей и известны направление вращения плоской фигуры в данный момент времени и характер ее вращения (ускоренное вращение или замедленное).

Рис. 11.9

Положим, что в данный момент времени фигура вращается уско­ренно в сторону, противоположную вращению часовой стрелки (рис. 11.9). Так как вращение фигуры ускоренное, то направим в сторону . Определим ускорение любой точки А фигуры, приняв точку О за полюс.

Воспользуемся теоре­мой о скоростях точек плоской фигуры; на основании (5) имеем

Ускорение точки А най­дем как векторную производную по времени от скорости этой точки:

.

Так как

имеем

Здесь: - вращательное ускорение точки А во вращении вокруг полюса О; - центростремительное ускорение точ­ки А во вращении вокруг полюса О.

Поэтому

(11.6)

Но геометрическая сумма вращательного и центростремительного ускорений и является полным ускорением точки А в ее вра­щении вместе с плоской фигурой вокруг полюса О:

Окончательно получаем

По формулам, приведенным ранее, находим модули:

а также угол β:

При ускоренном вращении вращательное ускорение направлено по отношению к полюсу в сторону вращения плоской фигуры, а при замедленном вращении - противоположно, т. е. направление по отношению к полюсу всегда соответствует направлению углового ускорения .

Ускорение точки А плоской фигуры определяется путем построения многоугольника ускорений. На рис. 11.9 построен прямоугольник, определяющий ускорение точки А в ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг полюса О:

,

а затем находятся ускорение точки как диагональ параллелограмма ускорений, сторонами которого служат ускорение полюса и ускоре­ние точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса .

Следствие 1. Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведенную uз произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось.

Если известно ускорение полюса О, ускорение точки А плоской фигуры определяется по формуле (11.6):

Рис. 11.10

Сложим правилу многоугольника, тогда будет замыкающей стороной многоугольника ускорений (рис. 11.10).

Проведем из полюса О через точку А ось х и спроецируем все эти векторы на эту ось:

Проекция центростремительного ускорения на ось х всегда отрицательна, так как это ускорение направлено от точки А к полюсу О, т. е. Противоположно направлению оси х:

Проекция вращательного ускорения на ось х равна нулю, так как это ускорение всегда перпендикулярно оси х:

.