- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Определим, пользуясь правилом Жуковского, кориолисовы ускорения точек M1, M2, M3, М4, M5, движущихся по поверхности Земли в направлениях, указанных на рис. 13.13. Taк как точки М1 и М2 движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения Земли, то модули их кориолисовых ускорений определяем по формулам (13.15):
и .
Направления этих ускорений получаем путем поворота относительных скоростей этих точек в сторону вращения Земли. Относительная скорость точки М3, движущейся по меридиану, в момент прохождения через экватор параллельна оси вращения Земли. В этот момент , а потому =0. Модули кориолисовых ускорений точек M4 и М5, движущихся по формулам:
.
Здесь ,
где φ — широта точки Земли. Направления этих ускорений определяем по правилу Жуковского.
Пример 1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как xD = t3 + t2, м (рис. 4.2.1).
По желобу ОА, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги |ОМ| = s = 5πt, м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Решение.
1. Определение . Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .
Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по времени: , и при t = 1 с получаем .
Чтобы определить направление этой скорости, следует установить, где находится точка М в данный момент времени.
Вычисляя длину дуги |OM|t=1c= 5π м, определяем значение угла α: — точка М находится в середине дуги ОА (рис. 4.2.2).
Рис. 4.2.1 Рис. 4.2.2
Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.
Переносной скоростью по определению будет скорость той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.
В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:
,
и при t = 1 с получаем = 5 м/с. Направлена она по оси х, так как vex > 0.
Складывать векторы и удобнее всего с помощью проекций. Проектируя равенство на оси (рис. 4.2.2), получаем
и окончательно
.
2. Определение . Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
.
В данном случае кориолисова ускорения не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ωе = 0.
Относительное ускорение в общем случае будет складываться из касательного и нормального: .
Касательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорости: м/с и .
Ускорение направлено туда же, куда и скорость так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение).
Нормальное относительное ускорение находим через скорость и радиус кривизны траектории:
.
Оно направлено к центру окружности желоба (рис. 4.2.3).
Рис. 4.2.3
Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость
,
и при t = 1 с имеем ае = 8 м/с2. Это ускорение совпадает по направлению с . Проектируя на оси уравнение , получим проекции вектора абсолютного ускорения:
И окончательно:
Ответ: =28,1 м/с; = 50,2 м/с2.
Пример 2. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 4.2.4) вокруг оси Ох так, что его угол поворота равен
рад.
Рис. 4.2.4 Рис. 4.2.5
По желобу тела ОА движется точка М так, что алгебраическое значение длины дуги равно
ОМ =s = (25πt2 – 5πt) см.
Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние |OA| = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Решение.
1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .
Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по времени: и .
Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При t = 1 с, получив ОМ = 20π см, устанавливаем, что длина дуги составляет половину длины окружности, то есть точка М находится в точке А желоба (рис. 4.2.5).
Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.
Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точка М, то есть скорость точки А:
,
где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно
.
Таким образом, при t = 1 с получаем и ve = 0,40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направлена перпендикулярно отрезку О1А по ходу вращения.
Поскольку векторы и направлены противоположно, то модуль абсолютной скорости равен va = vr – ve ≈ 1,01 м/с.
2. Определение . По теореме Кориолиса или
. (*)
Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис. 4.2.6).
Относительное касательное ускорение вычисляем через его алгебраическое значение: см/с2≈ 1,57 м/с2.
Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение): . Относительное нормальное ускорение направлено к центру желоба и равно
м/с2.
Рис. 4.2.6
Переносное ускорение в данном случае — это ускорение точки А тела D.
Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю
,
то переносное вращательное ускорение получается
м/с2.
Оно направлено перпендикулярно О1A по ходу углового ускорения, и поскольку алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .
Переносное центростремительное ускорение направлено к оси О1 и равно
м/с2.
Кориолисово ускорение , и его модуль равен
.
Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоскости чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90°. Тогда .
Направление кориолисова ускорения может быть найдено или по общему правилу для векторного произведения, или по специальному правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90° по ходу вращения тела.
Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроектировав равенство (*) на оси, получим
и окончательно
.
Ответ: va = 1,01 м/с; аа = 19,8 м/с2.