3 Мгновенный центр ускорений

Мгновенный центр ускорений (МЦУ) — это точка в плоско­сти движения плоской фигуры, ускорение которой равно ну­лю.

Для построения МЦУ при известном ускорении точки А пло­ской фигуры , которую примем за полюс, угловой скорости и угловом ускорении необходимо (рис. 12.8):

Рис. 12.8

1. Определить угол по формуле: .

2. Повернуть вектор ускорения полюса на угол , в направле­нии углового ускорения.

3. Отложить отрезок AQ :

, .

по направлению повернутого вектора ускорения .

С помощью МЦУ можно найти ускоре­ние любой точки. Найдем вели­чину ускорения точки В по зависимости:

.

От отрезка BQ под углом откладываем в направлении, противоположном угловому ускорению, вектор ускорения точки В (рис. 12.8). МЦУ и МЦС в общем случае — раз­ные точки.

Таким образом, модули ускорений точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы ускорений составляют с от­резками, соединяющими эти точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол .

Eсли мгновенный центр ускорений принять за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент определится как ускорение этой точки во вращательном дви­жении фигуры вокруг мгновенного цент­ра ускорений (рис. 12.9).

Действительно, приняв за полюс мгновенный центр ускорений Q (рис. 12.9), получим

Так как

то

Аналогично,

Рис. 12.9

Из этих соотношений получаем

(12.4)

Поэтому

.

Пример 2. Колесо радиуса R = 0,5 м катится без скольжения равнозамедленно по прямолинейному горизонтальному рельсу. Скорость центра колеса = 0,5 м/с. Ускорение центра . Найти ускорение точки А с помощью МЦУ и по теореме об ус­корениях точек плоской фигуры (рис. 12.10).

Решение. Находим угловые скорость и ускорение колеса:

,

.

Рис. 12.10

Угловая скорость направлена по часовой стрелке, так как вектор скорости относительно МЦС поворачивается по часо­вой стрелке. Угловое ускорение направлено противоположно в со­ответствии с направлением вектора ускорения центра колеса .

I способ. Определим угол

.

Повернем на угол 45° по направ­лению углового ускорения. Определим расстояние от точки С до МЦУ (рис. 12.10):

.

Находим расстояние точки А до МЦУ из :

м.

В точке А от отрезка AQ отложим вектор ускорения точки А в направлении, противоположном угловому ускорению. Величи­на ускорения точки А равна:

.

II способ. Применим формулу, приняв за полюс точку С:

. (12.5)

Находим , :

,

и направлен в соответствии с угловым ускорением (рис. 12.11):

Вектор направлен от точки А к полюсу С (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Проецируем выражение (12.5) на выбранные оси координат:

,

,

.

Ответ. =1,12 м/с².

Различные случаи определения положения мгновенного центра ускорений. Все задачи на определение положения мгновенного центра уско­рений плоской фигуры можно свести к трем указанным ниже основ­ным случаям, каждому из которых, очевидно, соответствует ряд частных случаев, зависящих от характера движения плоской фигуры.

С л у ч а й I. По условию задачи известна точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю. Эта точка и является мгновенным центром ускорений.

Рассмотрим, например, качение без скольжения колеса по прямолинейному рельсу с постоянной скоростью центра (рис. 12.12).

Мгновенный центр скоростей Р находится в точке соприкасания колеса с рельсом. Поэтому

где R - радиус колеса.