- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Условие равновесия
,
т. е. пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновешиваются, если алгебраическая сумма их моментов равна нулю.
Условия равновесия пар
Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы момент эквивалентной (результирующей) пары был бы равен нулю:
. (3.10)
Проецируя формулу (3.10) на декартовы координатные оси, получаем три скалярных выражения:
,
, (3.11)
.
Из выражения (3.11) следует, чтобы уравновесить систему, состоящую из пар сил, необходимо приложить уравновешивающую пару, т. е. пару сил можно уравновесить другой парой сил с равными модулями и противоположно направленными моментами.
Пару сил невозможно уравновесить одной силой или какой-либо системой сил, отличной от пары сил.
Задача 1. Найти результирующую пару, которая уравновесила бы две пары сил с моментами = 14 Нм, = 40 Нм, приложенные к балке АВ длиной 2 м (рис. 3.16).
Рис. 3.16
Решение. Используя принцип освобождаемости от связей, заменяем действие опор на балку реакциями и . Вектор силы перпендикулярен опорной поверхности. Вектор силы должен быть параллелен , так как они должны образовать эквивалентную результирующую пару.
Исходя из условия равновесия пар сил, запишем:
Нм.
Так как дана длина балки, то можно найти силы, образующие результирующую пару:
Нм.
Задача 2. Балка длиной АВ= 10 м имеет шарнирно-неподвижную опору А и шарнирно-подвижную опору В с наклонной опорной плоскостью, составляющей с горизонтом угол α=30о (рис. 3.17). На балку действуют три пары сил, лежащие в одной плоскости, абсолютные значения моментов которых равны |M1|=8 кH∙м; |M2|=10 кН∙м; |М3|=7кН∙м.
Определить реакции опор.
Рис 3.17 Рис. 3.18
Решение. Рассмотрим равновесие сил, приложенных к балке АВ: трех пар сил, реакции опоры , направленной перпендикулярно опорной плоскости, и реакции опоры , линия действия которой не известна. Так как нагрузка состоит только из пар сил, лежащих в одной плоскости, то реакции опор и , должны составить пару сил, лежащую в той же плоскости. Направим реакцию параллельно реакции , чтобы силы и составили пару сил, направленную в сторону, обратную вращению часовой стрелки (рис. 3.18).
Для четырех пар сил, приложенных к балке, используем условие равновесия пар сил, лежащих в одной плоскости:
где .
Отсюда
.
Знак плюс в ответе указывает, что принятое направление реакций опор и совпадает с истинным:
кН.
Лекция 4
УСЛОВИЯ и уравнения РАВНОВЕСИЯ
РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СИЛ
1 Приведение силы к одному центру
(метод Пуансо)
Пусть даны сила , приложенная к твердому телу в точке А, и произвольная точка О, которую назовем центром приведения. Проведем из точки О в точку А радиус-вектор (рис. 4.1, а) и определим момент силы относительно центра приведения:
.
Рис. 4.1
Приложим в точке О две уравновешивающиеся силы и , равные и параллельные силе (рис. 4.1, б). Получим эквивалентную силе систему трех сил , и , которую можно рассматривать как совокупность силы ( = ), приложенной в центре приведения О и присоединенной пары сил , .
Опустив из точки О перпендикуляр на линию действия силы , получим плечо этой пары сил и найдем модуль ее момента равный модулю момента силы относительно центра приведения О.
,
Вектор момента присоединенной пары сил направлен перпендикулярно плоскости пары , совпадающей с плоскостью треугольника ОАВ, в ту сторону, с которой пара представляется стремящейся вращать эту плоскость в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Приложив его как свободный вектор в центре приведения О, убедимся, что направление совпадает с направлением вектора момента силы относительно центра приведения. Так как эти векторы равны по модулю и совпадают по направлению, то они геометрически равны, т. е.
.
Таким образом, силу , не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из точки ее приложения А в любой центр приведения О, приложив при этом к телу пару сил с моментом , геометрически равным моменту этой силы относительно центра приведения (рис. 4.1, в).
Этот метод был предложен французским ученым Пуансо (1777 -1859) и называется приведением силы к заданному центру.