3 Способ сечений (Риттера)

Так же как при способе вырезания узлов необходимо сначала определить реакции опор и проверить статическую определенность фермы. Ферма рассекается на две части таким образом, чтобы в сечении было не более трех стержней с неизвестными усилиями, при этом каждая из отсеченных частей должна содержать не менее 2-х узлов. К рассмотрению принимается любая из частей фермы. Действие отброшенной части на оставшуюся часть изображается усилиями в рассеченных стержнях, направленными в сторону отброшенной части.

Оставшаяся часть находится в равновесии под действием плоской произвольной системы сил, поэтому составляются три уравнения равновесия, как правило, используется либо вторая , либо третья формы уравнений равновесий сил. Усилия определяются независимым образом. Моменты целесообразно брать относительно точки ( точки Риттера), полученной на пересечении линий действия двух усилий. Если ферма имеет параллельные пояса. То усилия в стойках и раскосах определяются путем проецирования на ось, перпендикулярную параллельным усилиям.

Задача 2. Для фермы примера 5.8 найти усилия в стержнях 1, 2, 4.

Решение. Произведем сечение через стержни (1, 2, 4) и рас­смотрим равновесие сечения I—I, лежащего слева (рис. 5.13). Со­ставим уравнение моментов относительно точки D.

Рис. 5.13

.

Находим

.

Составим уравнения моментов относительно точки А

.

Для определения рассмотрим равновесие сечения I—I, лежащего справа (рис. 5.14).

Составим уравнение моментов относительно точки В

,

где

,

.

Рис. 5.14

Результаты, полученные способами вырезания узлов и Риттера совпа­дают.

3. Определение реакций опор составных конструкций

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из системы тел, соединенных шарнирами. Связи, соединяющие части конструкций между собой, называются внутренними, в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее входящими. Рассмотрим составную конструкцию типа арки (рис. 5.15, а). Конструкция является статически определимой системой.

При действии внешней нагрузки на конструкцию в каждой опоре возникает по две реакции, всего четыре неизвестные реакции. Вертикальные реакции обозначим через и , горизонтальные - через и (рис. 5.15, б).

Рис. 5.15

Кроме трех уравнений равновесия для системы сил, расположенных в одной плоскости, для расчета конструкции можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что линия действия равнодействующей всех сил, приложенных к левой (а также и к правой) половине, должна пройти через врезанный шарнир С, так как в противном случае равнодействующая создала бы не нулевой момент относительно шарнира С и левая (или правая) половина арки враща­лась бы вокруг оси С.

Так как по теореме Вариньона момент равнодействующей равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил, то четвертое дополнительное уравнение можно сформулировать следующим об­разом.

Алгебраическая сумма моментов сил, действующих на левую или правую половину составной конструкции относительно точки С (внутреннего шарнира), равняется нулю, т.е.

.

Задача 3. Однородные брусья АС и BD весом соответственно Р₁ и Р₂ расположены в вертикальной плоскости (рис. 3.1, а). Брусья свободно опираются друг на друга в точке С, а в точках А и В имеют неподвижные шарнирные опоры; в точке К брус BD закреплен невесомым стержнем.

Дано: Р₁= 10 Н, Р₂ = 20 Н, М₁ = 20 Нм, F= 50 Н, l = 1 м, М₂ = 30 Нм.

Определить реакции связей в точках А, В, С и К.

Рис. 3.1

Решение. Расчленим систему на две части и рассмотрим сначала равновесие бруса АС (рис. 3.1, б). Проведем координатные оси и изобразим действующие на брус АС силы: силу тяжести Р, пару сил с моментом М, реакции связей X_A,Y_A, R_e (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция R_e направлена перпендикулярно брусу BD).

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

, (3.1)

, (3.2)

. (3.3)

Теперь рассмотрим равновесие бруса BD (рис. 3.1, в). На него дей­ствуют сила тяжести Р₂, сила F, реакции внешних связей Х_В, Y_B, R_K и давление R’_С со стороны бруса АС, которое на основании равенства действия и противодействия направлено противоположно силе R_C.

Для полученной плоской системы сил тоже составим три уравнения равновесия:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Решив систему уравнений (3.1) — (3.6) и учитывая при этом, что численно R'_C = R_C, найдем искомые реакции.

Ответ: Х_A=1,44 Н, Y_A=9,17 Н, Х_B = –26,06 Н, Y_B = –22,47 Н, R_C = 1,66 H, R_K = –52,5 Н.

Из полученных результатов видно, что силы Х_В, Y_B и R_K направлены противоположно показанным на рис. 3.1, в.

Задача 4. На угольник ABC ( ABC = 90°), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. 3.2, а). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена пара с моментом М₂, а к угольнику — равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М₁. Дано: M₁ = 10 кНм, q = 4 кН/м, а = 1 м, М₂ = 40 кНм. Определить реакции в точках А, С, D, вызванные заданными на­грузками.

Рис. 3.2

Решение. Для определения реакций расчленим систему и рас­смотрим сначала равновесие стержня DE (рис. 3.2, б). Проведем ко­ординатные оси и изобразим действующие на стержень силы и моменты: момент М₂, реакцию R^, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие X_D и Y_D реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. 3.2, в). На него действуют сила давления стержня R_С, направленная противоположно реакции R’_C, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка KB (численно Q = q∙4a= 16 кН), пара сил с моментом M₁ и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими Х_А, YA, и пары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже состав­ляем три уравнения равновесия:

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (3.7) — (3.12), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно R’_C = R_C в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: R_C = 20 кН, Y_D = –10 кН, X_D= 17,34 кН, Х_А = –25,34 кН, Y_A = 23,87 кН, М_А = –186,4 кНм.

Знаки указывают, что силы Y_D, X_A и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача 5. Дана плоская составная конструкция с приложенными к ней нагрузками (рис. 3.3) Определить реакции шарниров А, В и С, если Р = 10 кН, q = 5 кН/м, М = 6 кНм, а = 1,2 м, b = 1 м, r = = 0,15 м. Нить невесомая, трением в подшипнике блока D пренебречь.

Рис. 3.3

Расчленим конструкцию на две части, освободив ее от шарниров А и В (внешние связи), шарнира С и горизонтальной нити (внутренние связи). Расчетные схемы изображены на рис. 3.4, а,б.

Рис. 3.4

На расчетных схемах обозначено:

X_A,Y_A - составляющие реакции шарнира А;

Х_В, Y_B - составляющие реакции шарнира В;

Х_С, Y_С - составляющие реакции шарнира С на балку ВС;

Х'_C = –Х_C, Y’_C= –Y_C - составляющие реакции шарнира С на балку АС;

Р’ - реакция нити на блок D;

Р"- реакция нити на балку ВС;

Q - равнодействующая распределенной нагрузки.

Так как нить невесомая, а трением на блоке D пренебрегаем, то Р' = Р" = Р. Модуль равнодействующей распределенной нагрузки определяем по формуле

,

где

Составим уравнения равновесия балки ВС (рис. 3.4, а):

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Система уравнений (1) — (3) содержит 4 неизвестных. Ее нужно дополнить системой уравнений равновесия для расчетной схемы, изображенной на рис. 3.4, б:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Решая систему уравнений (3.13)—(3.18), находим неизвестные.

Из уравнения (3.18) получаем

из уравнения (3.17)

из уравнения (3.14)

из уравнения (3.15)

из уравнения (3.13)

из уравнения (3.16)

Ответ: Х_А = 22,32 кН, Х_В =–1.5,68 кН, Х_С = 12,32 кН; Y_A = –5 кН, Y_B = 15 кН, Y_С = –15 кН.

Замечание. Для определения искомых величин в данном приме­ре можно было избрать другой путь решения: рассмотреть равнове­сие всей конструкции в целом как абсолютно твердого тела, освобо­див ее от связей в точках А и В (рис. 3.5) совместно с одной из час­тей (рис. 3.4, а или рис. 3.4, б).

Рис. 3.5

Задача 6. Определить момент в заделке А и реакцию опоры В в составной конструкции, изображенной на рис. 3.6, если q_max = 5 кН/м, Р= 10 кН, М = 7 кНм, а = 4 м, b= 1,5 м, α = 60°.

Рис. 3.6

Решение. Рассмотрим равновесие всей конструкции как абсолютно твердого тела, освободив ее от связей в точках А и В (рис. 3.7).

Рис. 3.7

На рис. 3.7 обозначено:

X_A,Y_A - составляющие реакции заделки;

М_А - реактивный момент в заделке;

Х_В, Y_B - составляющие реакции шарнира В;

Q - равнодействующая распределенной нагрузки, модуль которой

Q = 0,5q_maх∙a = 0,5∙5∙4 = 10 кН;

Поскольку неизвестные Х_А и Y_A определять не нужно, то из всех уравнений равновесия, которые можно составить для всей конструкции, следует взять только уравнение моментов относительно точки А, как не содержащее этих неизвестных:

(3.19)

Рассмотрим далее равновесие балки ВС.

Расчетная схема изображена на рис. 3.8.

Рис. 3.8

Реакцию стержня R_C определять не нужно. Поэтому для балки ВС составляем такие уравнения, в которые эта сила не входит:

(3.20)

(3.21)

Система уравнений (3.19)—(3.21) содержит только те неизвестные, которые нужно определить.

Из уравнения (3.21) получаем

кН,

из уравнения (3.20)

кН,

из уравнения (3.19)

.

После вычислений

М_А = – 19,67 кНм.

Ответ: М_А = –19,67 кНм, Х_B= –8,67 кН, Y_B = 5 кН.