6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести

При вычислении координат центров тяжести пользуются различными приемами, позволяющими упростить вычисления. Рассмотрим четыре вспомогательные теоремы, упрощающие в некоторых случаях нахождение центров тяжести.

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

На основе рассмотренных теорем можно определить положения центров тяжести некоторых симметричных линий, фигур и тел:

1) центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине;

2) центры тяжести окружности, площади круга, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах;

3) центры тяжести периметра и площади параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения их диагоналей;

4) центр тяжести периметра и площади правильного многоугольника находится в центре вписанного (или описанного) круга.

Теорема 3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Пусть плоская фигура площадью F вращается вокруг оси у, лежащей в плоскости фигуры и не пересекающей ее. При вращении вокруг оси у контур этой фигуры описывает некоторую замкнутую поверхность, называемую поверхностью вращения. Тело, ограниченное этой поверхностью, называется телом вращения (рис. 7.9). Объем этого тела вращения определим как сумму бесконечно большого числа объемов элементарных круговых колец, образованных вращением вокруг оси у бесконечно малых площадок ΔF_i. Радиус каждого кольца равен расстоянию этой площади от оси у, т. е. координате x_i.

Объем элементарного кольца

Объем тела вращения

Здесь суммирование распространено на все площадки, входящие в состав данной площади F.

Сумму можно определить из формулы:

Подставив это значение в выражение, определяющее объем тела вращения, получим

. (7.11)

где 2πх_с- длина окружности, описанной центром тяжести фигуры.

Рис. 7.9 Рис. 7.10

Теорема 4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центрам тяжести.

Пусть кривая АВ длиной L вращается вокруг оси у, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее. При вращения вокруг оси у эта кривая опишет некоторую поверхность вращения (рис. 7.10).

Разобьем кривую на бесчисленное множество бесконечно малых элементов длиной Δl_i. Поверхность, описанную каждым элементом, можно принять за поверхность усеченного конуса.

Как известно из геометрии, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на длину образующей. Поэтому площадь поверхности, образованной вращением элемента кривой Δl_i , можно определить по формуле