- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
1. Допустим, что известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры А и В (рис. 12.3). Тогда мгновенный центр скоростей фигуры определится как точка пересечения перпендикуляров к этим прямым, восставленных в точках А и В. Зная модуль скорости точки А и определив расстояние этой точки от мгновенного центра скоростей РА, находим угловую скорость плоской фигуры согласно зависимости (12.3):
Модуль скорости точки В можно определить из пропорциональности скоростей точек их расстояниям от мгновенного центра скоростей по формуле :
Рис. 12.3
откуда
.
или с помощью угловой скорости фигуры согласно (12.3)
.
Скорость любой другой точки плоской фигуры определяется аналогично.
2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения положения мгновенного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих точек А и В (рис. 12.4, а, б).
Рис. 12.4
Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.
Следовательно, концы скоростей точек А и В лежат на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей. Пересечение этой прямой с прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры.
Если скорости точек А и В плоской фигуры равны, параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞), а угловая скорость фигуры (рис. 12.4, в)
Рис. 12.5 Рис. 12.6
3. Если известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и не перпендикулярны АВ (рис. 12.5), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞). Очевидно, что и в этом случае
Расстояния от всех точек плоской фигуры до мгновенного центра скоростей в этом случае равны между собой:
АР=ВР=…=∞.
Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент геометрически равны:
Следует учесть то, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех ее точек в каждый момент также геометрически равны и мгновенный центр скоростей этой фигуры находится в бесконечности.
Если условие остается справедливым в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельный момент, то движение плоской фигуры является поступательным. Если же только в некоторый момент времени, то утверждать, что плоская фигура движется поступательно, нельзя.
4. На практике часто происходит движение плоской фигуры, при котором она катится без скольжения по некоторой неподвижной линии (рис. 12.6). В этом случае мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится в точке соприкасания с линией. Действительно, при отсутствии скольжения скорость точки соприкасания плоской фигуры по отношению к неподвижной кривой равна нулю, т. е. эта точка в данный момент является мгновенным центром скоростей.
Пример 1. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямому рельсу. Скорость центра колеса в рассматриваемые момент временя . Определить скорости точек А, В, D и Е колеса, расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 12.7, а).
Рис. 12.7
Решение. 1-й вариант. Примем за полюс центр колеса С (рис. 12.7, б). Тогда скорость любой точки колеса будет равна геометрической сумме скорости полюса и скорости вращения этой точки вокруг полюса. Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки А касания колеса с рельсом равна нулю: . Точка А является мгновенным центром скоростей. В этой точке скорость вращения вокруг полюса и скорость полюса равны по модулю и противоположны по направлению:
Расстояния от точек А, В, D, Е до полюса С равны. Следовательно, и вращательные скорости точек вокруг полюса тоже равны:
Откладывая в каждой точке скорость полюса С и вращательную скорость, перпендикулярную соответствующему радиусу, складываем их геометрически, и затем находим модуля скоростей точек:
.
2-й вариант. Примем мгновенный центр скоростей колеса за полюс. Тогда скорости всех точек колеса определяются как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей. Модуля скоростей всех точек найдутся по пропорциональности скоростей их расстояниям от мгновенного центра скоростей:
Так как , то
Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим отрезкам в сторону вращения колеса (рис. 12.7, в).
Аналогичное распределение скоростей имеет место при качении колеса без скольжения по любой поверхности.