Определение ускорения точки

Определим модуль и направление ускорения точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 8.14)

Рис. 8.14

Радиус-вектор движущейся точки М представим в виде

.

Так как ускорение точки равно второй производной от радиуса-вектора по времени, а векторы постоянны, то имеем

.

Разложим ускорение на составляющие по осям координат:

,

где - проекции ускорения на оси х, y,z.

Сопоставляя обе формулы, определяющие ускорение, получаем:

.

Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т.е. то проекции ускорения точки можно представить в другом виде:

.

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствую­щих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Вычислив проекции ускорения на координатные оси, можно опре­делить модуль и направление ускорения точки по следующим фор­мулам:

.

Движение точки в плос­кости хОу задается двумя уравнениями движения:

.

Модуль и направление ускорения точки в этом случае (рис. 8.15) опреде­ляются так:

.

Рис. 8.15 Рис. 8.16

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением х . В этом случае модуль ускорения равен абсолютному значению его проекции на ось х, т. е.

.

Ускорение направлено в сторону оси х, если >0 (рис. 8.16), в противоположно оси х, если < 0.

Пример 1. Движение точки задано уравнениями: см; , см. Найти тра­екторию точки в координатной форме и за­дать движение точки в векторной форме (рис. 8.17).

Решение. Исключим время из уравнений движения. Для этого возведем обе части заданных уравнений в квадрат и сложим их:

Рис. 8.17

или

.

Траектория — окружность радиуса 4 см.

Для получения радиуса-вектора используем формулу (6):

.

Пример 2. Движение точки задано уравнениями см; см. Найти тра­екторию точки в координатной форме (рис. 8.18).

Решение. Преобразуем уравнения движения:

.

Рис. 8.18

Получим уравнение траектории х = -2у (рис. 8.18). Установим границы траектории. Начало движения в точке :

при ,

при ,

при .

Ответ. Траекторией точки будет полупрямая, ограниченная точкой М (-2,1).

Пример 1. Автомобиль движется по плоской кривой по закону , где b и k – постоянные. Ускорение автомобиля во время движения составляет угол 60^о с касательной к траектории.

Найти скорость и ускорение автомобиля и радиус кривизны траектории.

Решение. Для нахождения скорости и касательного ускорения точки вычисляем первую и вторую производную от пути по времени:

, (1)

, (2)

. (3)

Зная скорость точки, можем получить выражение нормального ускорения точки:

. (4)

Для нахождения ρ воспользуемся постоянным углом между ускорением и его касательным ускорением:

. (5)

Подставив вместо и соответствующие им значения из выражений (3) и (4), получим

. (6)

Следовательно,

. (7)

Полное ускорение

. (8)

Перейдем к переменной s. Для этого уравнение (1) перепишем в следующем виде:

. (9)

Подставляя (9) в (2), (7) и (8), получаем

.

Пример 2. Точка М движется в плоскости хОу согласно уравне­ниям:

,

где х, у — в сантиметрах; t — в секундах.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки, а также радиус кривизны траектории для момента времени .

Рис. 1.2.1

Решение. Для определения траектории точки исключим из урав­нений движения время: , тогда у = sin х. Траектория точки — синусоида (рис. 1.2.1).

Определим положение точки на траектории. Имеем при

— точка М на траектории.

Получим проекции скорости точки на оси координат, дифференцируя координаты по времени:

По найденным проекциям определим модуль скорости

Определим проекции ускорения точки на оси коорди­нат, дифференцируя проекции скорости:

Модуль ускорения точки

В соответствии с величинами проекций скорости и уско­рения изобразим их на рис. 1.2.1.

Поскольку точка описывает криволинейную траекто­рию, то ее ускорение можно представить в виде векторной суммы двух составляющих: , где — каса­тельное ускорение, — нормальное ускорение точки.

Вектор направлен по касательной, то есть по одной линии со скоростью; вектор направлен по главной нор­мали (перпендикулярно касательной) и всегда внутрь тра­ектории.

Модуль касательного ускорения равен

.

В данном случае направления векторов и противо­положны (рис. 1.2.1), поэтому движение точки замедленное.

Так как векторы и всегда взаимно перпендикуляр­ны, то модуль полного ускорения точки равен .

Отсюда находим модуль нормального ускорения

Радиус кривизны траектории определяем из формулы для нормального ускорения , а именно:

.

Пример 3. Точка М движется на плоскости по окружности ради­уса R = 10 см согласно уравнению

.

Найти положение точки на траектории, а также скорость и ускорение точки в момент времени t = 7 с.

Рис. 1.2.2

Решение. При задании движения точки естествен­ным способом должны быть известны ее траектория, нача­ло отсчета, положительное направление дуговой координа­ты, а также уравнение движения точки по траектории s(t).

Выберем в качестве начала от­счета верхнюю точку окружности и положительное направление — по часовой стрелке.

При t = 7 с положение точки М на траектории (рис. 1.2.2) определяется величиной дуговой координаты

что соответствует углу

При естественном способе задания движения точки ее скорость определяется выражением , где — про­екция скорости на касательную, которая равна производ­ной по времени от дуговой координаты

При t = 7 с получаем см/с, и модуль скоро­сти равен v = 7,12 см/с.

Знак «минус» у величины означает, что точка дви­жется в сторону убывания дуговой координаты s(t), то есть в сторону ее отрицательных значений.

Ускорение точки является векторной суммой двух его составляющих: где — касательное ускоре­ние, — нормальное ускорение.

Направление вектора определяется знаком величи­ны , вектор всегда направлен перпендикулярно ка­сательной внутрь траектории. Проекция ускорения точки на касательную равна

.

При t = 7 с получаем = 2,15 см/с².

Знаки и различны, поэтому движение точки по траектории в данный момент времени является замед­ленным.

Модуль нормального ускорения равен

.

Модуль полного ускорения точки:

.

Векторы показаны на рис. 1.2.2.

Пример 1. Точка М движется по своей траектории согласно уравнениям

х = t² см; у = sin πt см. (6.4)

Определить траекторию точки М, ее скорость и ускорение в мо­мент времени t₁ = 1,5 с. Определить тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение. Для определения траектории точки М исключим из уравнений движения (6.4) время, после чего получим уравнение тра­ектории в виде

Определяем положение точки М в момент времени t₁ (рис. 6.3)

Для определения скорости точки М вычисляем первые производные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на со­ответствующие оси координат:

.

Модуль скорости определяем по формуле

.

Вычисляем проекции вектора скорости точки на оси координат и её модуль в момент времени t₁

Направление вектора скорости определяем при помощи направ­ляющих косинусов

В момент времени t₁ направляющие косинусы вектора скорости

т.е. вектор скорости точки направлен параллельно оси Ох.

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

.

Модуль ускорения определяем по формуле

Проводим вычисления для момента времени t₁

Направление вектора ускорения определяем при помощи на­правляющих косинусов

В момент времени t₁ направляющие косинусы вектора ускорения

Для определения тангенциального ускорения точки М учтем, что его можно определить как проекцию вектора полного ускорения на направление касательной к траектории

.

В момент времени t₁

м/с².

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся формулой

м/с².

В данной задаче вектор тангенциального ускорения совпадает с проекцией вектора полного ускорения на ось Ох, а вектор нормаль­ного ускорения - с проекцией ускорения на ось Оу.

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения

.

В момент времени t₁

м.

Изображаем все найденные величины на рис. 6.3.

Рис. 6.3

Пример 2. Колесо радиуса r = 1 м катится без проскальзывания по горизонтальной направляющей, оставаясь в вертикальной плос­кости. Центр колеса движется с постоянной скоростью v₀ = 1 м/c. Составить уравнения движения точки М обода колеса, если в начальный момент времени точка находилась на оси Оу выше центра колеса. Определить тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки М, а также радиус кривизны траектории точки М в момент времени t₁ =π/2 с.

Рис. 6.4

Решение. Положение точки М определяется радиус-вектором ОМ, для которого можно записать следующее соотношение (рис. 6.4):

.

Для составления уравнений движения точки М найдем проекции вектора на оси декартовой системы координат xOy

Поскольку центр колеса движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости, то закон его движения можно записать в виде

Кроме того, учтем, что при качении колеса по горизонтальной плоскости без проскальзывания выполняется условие

.

Отсюда находим

Производные

(6.5)

Есть угловая скорость колеса. Тогда закон движения точки М обода колеса запишем в виде

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

Модуль скорости определим по формуле

После преобразований получим

Далее представим эту формулу следующим образом

. (6.6)

Из формулы (6.6) следует правило: скорость любой точки колеса равна его угловой скорости, умноженной на расстояние от этой точки дл точки касания.

В соответствии с этим скорость всех точек колеса распределяется так, как это показано на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Из этого следует еще одно правили: скорость любой точки перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей эту точку с точкой касания.

Очевидно, что скорость точки Р при этом равна нулю.

Вычислим значение вектора скорости точки М (рис. 6.4) в момент времени t₁

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

.

Модуль ускорения определяем по формуле

. (6.7)

Рис. 6.6

Из формулы (6.7) следует, что величина ускорения точки зависит только от скорости центра колеса и расстояния точки от центра. Все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют оди­наковые по величине ускорения. Для всех точек на окружности колеса

а = 1 м/с².

Находим направление ускорения произвольной точки колеса. Ко­синус угла между ускорением и осью х найдем по известной формуле

Из этой формулы следует, что ускорение любой его точки на­правлено к центру.

Найдем касательное и нормальное ускорение точки М. Каса­тельное ускорение

(6.8)

В момент времени t₁

.

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся соотношением

что приводит к результату

. (6.9)

В момент времени t₁:

.

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу

. (6.10)

В момент времени t₁

м.

Таким образом, приходим к следующему выводу.

Радиус кривизны любой точки на окружности колеса равен его удвоенному расстоянию до точки касания.

Далее, представляет интерес определить касательное и нор­мальное ускорения и радиус кривизны точки Р (рис. 6.7). На основа­нии соотношений (6.8)—(6.10) и с учетом того, что для точки Р угол φ=180°, находим, что для этой точки равны нулю скорость, нор­мальное ускорение и радиус кривизны траектории. Следовательно, ускорение точки касания колеса с плоскостью направлено по каса­тельной к траектории. В последующих разделах данного курса будет показано, что указанное направление ускорения точки касания не зависит от углового ускорения колеса.

Рис. 6.7

Пример 3. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω.

Определить закон движения, траекторию, а также скорость и ускорение точки М в момент времени t₁ = 0,25 с, если ОА = АВ = 15 см, AM = 5 см, ω = π рад/с. Кроме того, необходимо определить радиус кривизны траектории, тангенциальное и нормальное ускоре­ния точки.

Решение. Для определения закона движения точки М запишем кинематическое соотношение, определяющее положение данной точки в произвольный момент времени

,

которое в проекциях на оси декартовой системы координат примет вид

. (6.11)

Рис. 6.8

Так как треугольник ОАВ - равнобедренный, то соотношения можно записать в виде

Таким образом, точка М движется по своей траектории согласно уравнениям

(6.12)

Для определения траектории точки М уравнения (6.12) предста­вим в виде

Отсюда получаем уравнение траектории

(6.13)

Это есть уравнение эллипса с полуосями d и b.

Определяем положение точки М в момент времени t₁

Для определения скорости точки М вычисляем первые произ­водные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на соответствующие оси координат:

v. (6.14)

Модуль скорости определяем по формуле

.

Вычисляем проекции вектора скорости и модуль скорости точки в момент времени t₁

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

.

Модуль ускорения определяем по формуле

.

Рис. 6.9

Вычисляем значения вектора ускорения точки в момент времени t₁

Для определения направления ускорения приведем соотноше­ния к виду

.

Отсюда следует, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению радиуса-вектора точки М.

Тангенциальное ускорение точки определим как производ­ную от модуля скорости по времени

В момент времени t₁

.

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся соотношением

В момент времени t₁

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения

В момент времени t₁

.

Отображаем все найденные величины на рис. 6.9.

Пример 4. Кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . Определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы BD, если ω₀ = π с^–1, ОА = b, ОВ = 2b, b=10 см.

Рис. 6.10

Решение. Для определения угловой скорости и углового уско­рения качающейся кулисы найдем закон ее движения, для чего за­пишем уравнение кинематических связей , которое в проекциях на координатные оси имеет вид:

. (6.14)

Разделив второе уравнение системы на первое, получим

Тогда закон движения кулисы можно записать в виде

Для нахождения угловой скорости кулисы в произвольный мо­мент времени найдем производную по времени от закона движения

Для нахождения углового ускорения кулисы в произвольный момент времени найдем производную по времени от закона измене­ния угловой скорости

Графики изменения угла поворота ψ(t) угловой скорости ω(t) и углового ускорения ε(t) кулисы изображены на рис. 6.11

.

Рис. 6.11

Лекция 9

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ

СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

1. Естественные координатные оси

Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоско­стям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей на­зывается главной нормалью кривой.

Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей назы­вается бинормалью кривой.

Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возраста­ния дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к каса­тельной и главной нормали так же, как ось Оz направлена по отно­шению к осям Ох и Оу в правой системе координатных осей. Единичные векторы-орты этих осей обозначаются соответственно .

Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении точки М по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.

Возьмем на кривой АВ две точки М и M₁, соответствующие дуговым координатам ОМ =s и ОМ=s+Δs. Покажем орты каса­тельной и в этих точках (рис. 9.2). Модуль орта , равный еди­нице, постоянен, но направление орта изменяется при перемещении точки по кривой, т. е. орт является переменным вектором.

Определим приращение орта на участке mm₁=Δs. Для этого отложим от точки М орт и построим при этой точке парал­лелограмм, одной из сторон которого будет орт , а диагональю - орт . Тогда другая сторона параллелограмма будет приращением орта , так как = +Δ .

Разделим приращение орта на приращение дуговой координаты Δs. Вектор , характеризующий поворот касательной к кривой на участке MM₁, называется вектором средней кривизны кривой на участке ММ₁. Этот вектор имеет направление вектора Δ , т.е. направлен в сторону вогнутости кривой.

Рис. 9.2 Рис. 9.3

Предел , к которому стремится вектор средней кривизны кри­вой , когда Δs стремится к нулю, называется вектором кривизны кривой в данной точке:

.

Орт касательной к кривой является вектор-функцией дуговой коор­динаты s, так как его направление зависит от положения точки на кривой, т.е. . Тогда

.

Следовательно, вектор кривизны кривой в данной точке равен про­изводной от орта касательной к кривой по дуговой координате.

Для определения модуля этого вектора рассмотрим равнобедрен­ный треугольник, образованный (рис. 9.2).

Угол ε между направлениями касательных в двух точках кривой М и M₁ называется углом смежности. При малом расстоянии Δs угол смежности тоже мал.

Модуль |Δτ| найдем как длину основания равнобедренного тре­угольника с малым углом ε при вершине и боковыми сторонами, равными единице. Тогда

.

Модуль вектора кривизны К определяется по формуле

.

Из дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности ε к приращению дуговой координаты Δs при стремле­нии Δs к нулю равен кривизне кривой 1/ρ, при ρ - радиус кри­визны кривой в точке М. Таким образом, получим модуль вектора кривизны

.

Установим также направление вектора кривизны. Вектор средней кривизны находится в плоскости треугольника, составленного векторами , предельным положением которого является соприкасающаяся плоскость. Следовательно, вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости.

Рассмотрим угол β, составленный вектором с касательной в точке М (рис. 9.2):

.

При приближении точки М₁ к точке М угол смежности ε стре­мится к нулю, а поэтому

.

Так кик вектор кривизны расположен в соприкасающейся пло­скости и перпендикулярен орту , то он направлен по главной нор­мали к центру кривизны кривой (рис. 9.3).

Представим вектор в виде произведения орта на модуль этого вектора:

,

где ρ = МС - радиус кривизны кривой в данной точке М.