- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Лекция 11 плоское движение твердого тела
Уравнения плоского движения твердого тела
Плоским называется такое движением твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Из определения следует, что траектории всех точек тела находятся в параллельных плоскостях, которые в свою очередь, параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Примером такого движения может служить движение книги по плоскости стола. Все точки, лежащие на страницах книги, движутся в параллельных плоскостях, которые в свою очередь параллельны плоскости стола. Другой пример - колесо, которое катится по прямолинейному рельсу. Траектории всех точек колеса лежат в параллельных плоскостях.
Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как звенья многих механизмов и машин совершают движения этого вида. Рассмотрим в качестве примера кривошипно-шатунный механизм (рис. 11.1).
Рис. 11.1
Звено 1 – кривошип совершает вращательное движение; звено 2 – шатун совершает плоское движение; звено 3 – ползун совершает поступательное движение.
При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.
Рис. 11.2 Рис. 11.3
Рассмотрим движение точек тела, расположенных на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости Q. Точка М1 движется в плоскости Q,1 , а точка М2 — в плоскости Q2; обе плоскости параллельны неподвижной плоскости Q (рис. 11.2).
При движении тела отрезок M1M2 остается перпендикулярным плоскости Q, т. е. остается параллельным своему начальному положению. Это значит, что все точки этого перпендикуляра, аналогично точкам тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения, т. е. траектории A1B1 , А2В2, АВ точек тела M1, M2, М тождественны и параллельны, их скорости и ускорения также равны.
Основываясь на этом свойстве плоского движения твердого тела, устанавливаем, что движение каждой точки плоской фигуры в неподвижной плоскости Q определяет собой движение всех точек твердого тела, расположенных на перпендикуляре к плоскости Q, восставленном в этой точке. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости.
Так как положение плоской фигуры на плоскости вполне определяется положением двух ее точек или положением отрезка, соединяющего две точки этой фигуры (рис. 11.3), тo движение плоской фигуры в ее плоскости можно изучать как движение прямолинейного отрезка в этой плоскости.
Предположим, что плоская фигура переместилась на плоскости из положения I в положение II (рис. 11.4). Отметим два положения отрезка АВ, принадлежащего фигуре. Покажем, что перемещение фигуры можно осуществить совокупностью двух перемещений: поступательного перемещения и поворота.
1-й вариант. Переместим фигуру поступательно из положения АВ в положение A1В’, т. е. так, чтобы точка А переместилась в новое положение А1, а точка В описала траекторию, тождественную траектории точки А. Затем повернем фигуру вокруг точки А1 на угол φ1 так, чтобы точка В' совпала с точкой В1.
2-й вариант. Переместим фигуру поступательно из положения АВ положение А'В1, a затем повернем ее вокруг точки В1 на угол φ2 так, чтобы точка А' совпала с точкой А1.
Вариантов перемещений может быть столько, сколько точек плоской фигуры, т.е. бесчисленное множество.
Как видно, поступательное перемещение плоской фигуры различно в различных вариантах, а угол поворота и направление поворота одинаковы:
(11.1)
Из этого следует, что всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух перемещений: поступательного перемещения плоской фигуры вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и поворота вокруг полюса.
При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, числовая величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят.
Из вышеизложенного следует, что действительное движение плоской фигуры в ее плоскости в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного движения и вращения. Поступательная часть движения фигуры зависит от выбора полюса и определяется его движением.
Рис. 11.4 Рис. 11.5
Приняв за полюс некоторую точку О и обозначив ее координаты в неподвижной системе хО1у (рис. 11.5), можно определить движение полюса О, а следовательно, и поступательное движение всей фигуры уравнениями и .
Для получения угла, характеризующего вращательную часть движения плоской фигуры, проведем через полюс О две полупрямые Оа и Ob, из которых Оа не принадлежит плоской фигуре и движется поступательно вместе с полюсом О, a Ob принадлежит этой фигуре и вместе с ней вращается вокруг полюса О.
Обозначив , можно определить вращательное движение фигуры уравнением вращения . Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и движение всего тела определяются тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела:
(11.2)
Пример 1. Колесо радиуса R = 0,4 м катится по прямолинейному горизонтальному рельсу с постоянной угловой скоростью = 2 рад/с (рис. 11.6). Записать уравнения плоского движения колеса, если центр колеса имеет постоянную скорость: = 0,8 м/с.
Рис. 11.6
Решение. Так как колесо движется равномерно, то координата центра колеса по оси х будет равна:
м.
Координата центра колеса по оси у постоянна и равна радиусу:
м.
Угол поворота колеса при равномерном вращении равен:
рад.
Ответ. = 0,8t м; = 0,4 м; = 2t рад.