- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
Выберем произвольную точку М твердого тела ( ), вращающегося вокруг неподвижной оси OZ (рис. 10.5). Движение точки М можно описать радиусом-вектором , который имеет постоянный модуль для выбранной точки:
. (10.5)
Дифференцируя (10.5) по времени, находим скорость:
, (10.6)
Рис. 10.5
где , так как вектор постоянен по величине и направлению как производная вектора постоянного модуля по скалярному аргументу.
Тогда
, (10.7)
где
. (10.8)
(h — расстояние от точки до оси вращения).
Вектор скорости будет направлен по касательной к траектории точки М в соответствии с направлением угловой скорости.
Пример 4. Точка А, лежащая на ободе диска, имеет скорость = 40 см/с. Точка В, принадлежащая диску, имеет скорость = 10 см/с (рис. 10.6). Определить угловую скорость диска и его радиус, если расстояние АВ = 15 см.
Рис. 10.6
Решение. Применим формулу (8)
,
.
Тогда
,
пли
,
откуда
,
,
см,
рад/с.
Ответ. R=20 см, ω=2 рад/с.
Получим векторную формулу Эйлера для скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Из рис. 10.5 видно, что . Тогда . Это выражение является модулем векторного произведения , т.е. . Направление вектора скорости определяется векторным произведением. Следовательно:
. (10.9)
Это выражение называют векторной формулой Эйлера.
Скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор этой точки, проведенный из произвольной точки на оси вращения.
Определим ускорение точки М:
,
так как
,
то
. (10.10)
Рассмотрим слагаемые, входящие в это выражение. Вектор в соответствии с правилом векторного произведения направлен по касательной к траектории точки М, т. е. как касательное ускорение точки М, которое во вращательном движении называют вращательным ускорением (рис. 10.7):
Рис. 10.7
. (10.11)
Величина вращательного ускорения
,
. (10.12)
Вектор находится в плоскости окружности радиуса КМ = h, направлен от точки М к оси вращения и является нормальным ускорением точки М. При вращательном движении это ускорение называют центростремительным ускорением:
. (10.13)
Величина центростремительного ускорения:
,
где ,
. (10.14)
Модуль полного ускорения точки, вращающегося твердого тела
. (10.15)
Угол между полным ускорением и центростремительным равен:
. (10.16)
Выражения (10.8) и (10.15) показывают, что скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения, а из формулы (10.16) следует, что угол отклонения полного ускорения от центростремительного в каждый момент времени один и тот же для всех точек тела.
Уравнение равномерного вращения тела. Вращение тела с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Составим уравнение равномерного вращения тела с угловой скоростью ω, принимая направление этого вращения за положительное направление отсчета угла поворота φ.
Положим, что в начальный момент to=0 угол поворота имеет значение φ0. Тогда
.
Проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту t0 = 0 и произвольному моменту времени t:
,
откуда
(10.17)
Выражение (10.17) является уравнением равномерного вращения тела. Если в начальный момент времени подвижная полуплоскость Q совпадает с неподвижной полуплоскостью Р, т. е. φ0 = 0, то уравнение равномерного вращения тела (10.17) принимает вид
Из уравнения равномерного вращения тела при
,
т. е. угловая скорость равномерного вращения тела равна отношению приращения угла поворота за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени.
Число оборотов, совершаемых вращающимся телом за единицу времени (обычно за минуту), называется частотой вращения и обозначается n. Так как один оборот равен 2π радиан, то зависимость между угловой скоростью ω (рад/с) и частотой вращения n (об/мин) имеет вид
, .
Уравнение равнопеременного вращения тела. Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называют равнопеременным вращением. При этом, если абсолютная величина угловой скорости увеличивается, вращение называют равноускоренным, и если уменьшается - равнозамедленным.
Составим уравнение равнопеременного вращения, полагая, что в начальный момент t0 = 0 начальная угловая скорость , а начальное значение угла поворота φ0. Тогда
.
Проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту t0=0 н произвольному моменту времени t:
, (10.18)
.
Проинтегрируем это уравнение в соответствующих пределах:
. (10.19)
Уравнение (10.19) является уравнением равнопеременного вращения тела.
Так как равнопеременное вращение происходит обычно в одном направлении, то где знак плюс соответствует ускоренному вращению, а знак минус - замедленному. Учитывая это, формулам (18) и (19 можно придать более удобный для решения задач вид:
.
Из формулы угловой скорости находим , т. е. при равнопеременном вращении абсолютное значение углового ускорения тела равно отношению изменения угловой скорости тела за некоторый промежуток времени к числовой величине этого промежутка.
Пример 5. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 20 с он совершает 100 оборотов. Каковы его угловые скорость и ускорение по истечении 20 с?
Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покое, то ω0=0. В этом случае при φ0=0
, (1)
(2)
Из уравнения (1) находим
, (3)
где .
Подставляя в (3) числовые значения, находим