Лекция 7 центр тяжести

1. Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных сил , приложен­ных к твердому телу в точках (рис. 7.1). Эта система имеет равнодействующую , направленную так же, как слагаемые силы, причем по модулю

.

Если теперь каждую из сил системы поворачивать около ее точ­ки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то мы будем получать новые системы одинаково направленных парал­лельных сил с теми же модулями и точками приложения, но с дру­гим общим направлением (пунктирные линии на рис. 7.1).

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.

Покажем, что при всех поворотах линия действия равнодейст­вующей всегда проходит через одну и ту же точку С. В самом деле, сложив сначала силы и , найдем, что их равнодействующая , при любых поворотах сил будет проходить через точку , лежащую на прямой , и удовлетворять равенству , так как при поворотах сил ни положение прямой , ни это равенство не меняется. Складывая теперь силу , с силой , мы получим, что их равнодействующая будет проходить через аналогично определяемую точку , лежащую на прямой , и т.д. Доведя эту операцию по­следовательного сложения до конца, мы убедимся, что равнодейст­вующая всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам будет неизменным.

Рис. 7.1

Точка С, через которую проходит линия действия равнодейст­вующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил. Выберем оси ко­ординат Oxyz и обозначим координаты точек: , ,…, . Повернем сначала силы так, чтобы они были параллельны оси Oz, и применим к силам теорему Вариньона. Так как является равнодействующей этих сил, то, вы­числяя моменты относительно оси Оу, получим

.

Отсюда находим (имеем в виду, что )

. (7.1)

Для координаты аналогичные формулы получим, вычисляя моменты относительно оси Ох. Чтобы определить , повернем все силы, сделав их параллельными оси Оу. Применив к этим силам теорему Вариньона, вычислим моменты относительно оси Ох.

Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:

. (7.2)

2 Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, че­рез которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Радиус-вектор центра тяжести те­ла вычислим по формуле

. (7.3)

где - радиус-вектор точки прило­жения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; - сила тяжести элементарной частицы; Р - - сила тяжести всего тела.

Если в (7.3) перейти к пределу, увеличивая число элементар­ных частей п до бесконечности, то после замены суммы интегралом получим

. (7.4)

В проекциях на оси координат из (7.3 и (7.4) получим

, (7.5)

.

Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной час­тицы тела можно вычислить по формуле

,

где - удельный вес тела; - объем элементарной частицы.

Сила тяжести всего тела

,

где V - объем тела.

Подставляя эти значения в уравнения (7.3) и (7.4), после со­кращения на у получим формулы:

, (7.6)

по которым определяют центр тяжести тела.

По аналогии, для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими, имеем

, (7.7)

где - площадь элементарной частицы поверхности; А - площадь всей поверхности.

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера ма­лы по сравнению с третьим, определим радиус-вектор центра тяже­сти по формулам

, (7.8)

где - длина элемента линии; L - общая длина линии.