- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
Лекция 7 центр тяжести
1. Центр параллельных сил
Рассмотрим систему параллельных сил , приложенных к твердому телу в точках (рис. 7.1). Эта система имеет равнодействующую , направленную так же, как слагаемые силы, причем по модулю
.
Если теперь каждую из сил системы поворачивать около ее точки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то мы будем получать новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения, но с другим общим направлением (пунктирные линии на рис. 7.1).
Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.
Покажем, что при всех поворотах линия действия равнодействующей всегда проходит через одну и ту же точку С. В самом деле, сложив сначала силы и , найдем, что их равнодействующая , при любых поворотах сил будет проходить через точку , лежащую на прямой , и удовлетворять равенству , так как при поворотах сил ни положение прямой , ни это равенство не меняется. Складывая теперь силу , с силой , мы получим, что их равнодействующая будет проходить через аналогично определяемую точку , лежащую на прямой , и т.д. Доведя эту операцию последовательного сложения до конца, мы убедимся, что равнодействующая всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам будет неизменным.
Рис. 7.1
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.
Найдем координаты центра параллельных сил. Выберем оси координат Oxyz и обозначим координаты точек: , ,…, . Повернем сначала силы так, чтобы они были параллельны оси Oz, и применим к силам теорему Вариньона. Так как является равнодействующей этих сил, то, вычисляя моменты относительно оси Оу, получим
.
Отсюда находим (имеем в виду, что )
. (7.1)
Для координаты аналогичные формулы получим, вычисляя моменты относительно оси Ох. Чтобы определить , повернем все силы, сделав их параллельными оси Оу. Применив к этим силам теорему Вариньона, вычислим моменты относительно оси Ох.
Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:
. (7.2)
2 Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести тела называют геометрическую точку, через которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Радиус-вектор центра тяжести тела вычислим по формуле
. (7.3)
где - радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; - сила тяжести элементарной частицы; Р - - сила тяжести всего тела.
Если в (7.3) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей п до бесконечности, то после замены суммы интегралом получим
. (7.4)
В проекциях на оси координат из (7.3 и (7.4) получим
, (7.5)
.
Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной частицы тела можно вычислить по формуле
,
где - удельный вес тела; - объем элементарной частицы.
Сила тяжести всего тела
,
где V - объем тела.
Подставляя эти значения в уравнения (7.3) и (7.4), после сокращения на у получим формулы:
, (7.6)
по которым определяют центр тяжести тела.
По аналогии, для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими, имеем
, (7.7)
где - площадь элементарной частицы поверхности; А - площадь всей поверхности.
Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, определим радиус-вектор центра тяжести по формулам
, (7.8)
где - длина элемента линии; L - общая длина линии.