Глава 6

иронии судьбы, теория отношений Де Моргана вошла в основной корпус философии благодаря творчеству Уильяма Джеймса, который, как мрачно заметил Пирс, был «никаким логиком».

В известной заключительной главе своей книги «Принципы психологии» Джеймс оспаривает воззрение, в недавнем прошлом отстаивавшееся Миллем и обязывающее эмпириста трактовать логические и математические принципы как «обобщения опыта». Подобно Локку и Юму, Джеймс считает, что логика и математика имеют своим предметом изучения «отношения идей» и эти отношения устанавливаются независимо от опыта, хотя сами идеи являются продуктами опыта. Согласно Джеймсу, основополагающим логическим и математическим отношением является сравнение, а характерным методом доказательства и в логике, и в математике служит «пропуск промежуточных звеньев», который, скажем, имеет место, когда математик из утверждений А равно В и В равно С заключает, «пропуская В», что А равно С. Такие пропуски возможны не всегда (здесь Джеймс ссылается, в частности, на Де Моргана); например, если А любит В и В любит С, отсюда не следует, что А любит С, но сам факт этой невозможности помогает нам понять, что эти отношения не являются нашим собственным изобретением. Не мы делаем возможным пропуск промежуточных звеньев. Этот вывод, как мы увидим, усвоит развернувшаяся в конце XIX в. критика «психологизма».

Эта критика впитала в себя и другие идеи логики XIX в. Вновь, хотя и в ином отношении, для логики решающее значение имело развитие математики. Буль видел в логике пример алгебры нового типа; другие математики обращали взор к символической логике в поисках средств, которые позволили бы устранить разрывы, обнаруженные ими в структуре математики. В это время произошел необычный обмен ролями между странами. Логика Буля—Де Моргана, появившаяся в Англии, обрела свою классическую формулировку у Шредера в Германии; логика математики, будучи континентальным творением, нашла свое классическое выражение в «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда.

Самыми разными способами старались математики XIX в. разрушить любую связь между математикой и областью эмпирического. Алгебра перестала быть количественной; в геометрии обобщения вышли за пределы пространственных отношений; в арифметике появились новые «трансфинитные» числа, обладавшие совершенно необычными свойствами; например, применительно к трансфинитным классам оказалось неверным положение, что целое больше части, т. е. бесконечный ряд натуральных чисел как класс оказался не больше бесконечного ряда четных чисел22.

В результате этих нововведений математические предложения стали все более похожими на предложения логики. Математика, как теперь решили, это просто «наука о порядке»; все связи с пространством и количеством, на первый взгляд отличающие ее от логики, образуют лишь бесполезные наросты на ее реальной структуре. От этого вывода было уже недалеко до попыток доказать выводимость чистой математики из логических принципов.

Новая математика, по мнению ее ведущих представителей, — это анализ следствий, а не доказательство истин. Со времен Платона было при-

==111

вычным считать, что математика состоит из набора истин об «идеальных объектах», т. е. идеальных окружностях и т. д., и главным источником философских разногласий был вопрос о точном соотношении этих идеальных сущностей и фактов повседневного опыта. Теперь же пришли к выводу, что математика ничего не знает об истине в эмпирическом значении этого слова; ее цель состоит лишь в установлении, что следует из определенных постулатов. Так, согласно самому известному примеру, можно сформулировать параллельно друг другу несколько различных «геометрий», выводимых из разных постулатов. Как стали говорить математики, вопрос о том, какая из этих геометрий истинна, просто не встает; каждая из них имеет равное право считаться корректной геометрией, при условии, что она не содержит противоречий, хотя может оказаться, что определенные системы геометрии найдут особенно полезные приложения.

Эта новая концепция математики включала в себя требование абсолютной строгости доказательства. Конечно, математики всегда стремились к строгим и изящным доказательствам, но они никогда прежде не считали, как стали считать теперь, что в этом и состоит вся их задача. В результате они обратились к поискам метода представления математических теорий в «логической форме», благодаря которой сразу становилась бы очевидной их логическая структура и можно было бы легко находить в ней разрывы. Традиционная логика не могла выразить в простой символической форме математические рассуждения; Булева логика выглядела более обнадеживающей, хотя и она потребовала бы значительной переформулировки с учетом этого нового назначения.

Одним из наиболее важных аспектов этого движения было обеспечение логиков предметом исследования. Пирс понимал опасность низведения логики до уровня «математических забав». Логики вроде Венна могли формулировать изощренные проблемы для демонстрации широких возможностей новой формальной логики в сравнении со старой, но уже Кейнс показал, что эти проблемы, вполне разрешимые и для старой логики, по большей части оказываются совершенно надуманными и не возникают в реальном исследовании. Рассматривая рассуждения, используемые в повседневной жизни, Венн был готов признать за традиционной логикой множество преимуществ. Для чего же в таком случае можно было использовать изощренные методы, созданные Булем и его последователями? Для анализа математических рассуждений — таков был ответ.

Заметный шаг в создании логики для математиков был сделан группой итальянских логиков во главе с Дж. Пеано. В своей работе «Pormulaire de mathematiques» (1895—1908) Пеано и его соратники попытались доказать, что арифметику и алгебру можно построить, используя некоторые элементарные логические идеи (такие, как класс, принадлежность к классу, включение в класс, материальная импликация и произведение классов), три исходные математические идеи (нуль, число и число, следующее за данным) и шесть элементарных высказываний. Казалось, картезианский идеал выведения математики из нескольких простых понятий был, наконец, близок к осуществлению. Для упрощения этого выведения Пеано изобрел логическую символику, которая имела явные преимущества перед всеми приме-

==112

_______________________Глава 6_________________________

нявшимися ранее и которую в значительной мере затем использовали Рассел и Уайтхед.

Однако в работе Пеано «тайное» так и не стало явным: логические вопросы более общего плана не были затронуты, а важные различия остались непроясненными. Впервые фундаментальные проблемы логизированной математики были четко сформулированы в трудах Г. Фреге23. В «Основаниях арифметики» (1884) и «Основных законах арифметики» (1893—1903) Фреге делает попытку обосновать арифметику путем выведения ее из логических принципов. Его философия вырастает из проблем, возникших в ходе этого обоснования. Данные проблемы, стало быть, являются «техническими», но в этом смысле большая часть современной философии имеет технический характер. Даже для понимания того, что волнует Фреге, уже требуется значительное углубление в философию, в то время как мотивы, стоящие, скажем, за философией Мактаггарта, понятны каждому, и вся сложность состоит в усвоении деталей его аргументации.

Философские работы Фреге, частично из-за их технического характера, очень медленно пробивали себе дорогу. Философы, сетовал он, испугались символизмов, а математики — теоретических проблем. Бертран Рассел в Приложении А к «Принципам математики» отмечал определенные аспекты философии Фреге, но даже при его поддержке работы Фреге мало читали до второй четверти нашего столетия24.

Фреге начинает с критики господствующих «философий арифметики», среди которых он выделяет три: теорию «булыжников и пирожных», психологизм и формализм. Теория «булыжников и пирожных» представлена позицией Милля, полагавшего, что числа — это обобщения нашего опыта восприятия совокупностей разрозненных предметов. В порыве увлечения психологическими объяснениями многие философы стали писать о числах, как если бы они были тождественны процессам, в ходе которых мы применяем их. Это точка зрения психологизма. Другие философы, стремясь избежать ошибок Милля и психологистов, не обращаясь при этом к платоновским «идеям», пытались утверждать, что числа — это лишь знаки, а арифметика — игра со знаками, подобно тому как шахматы — это игра с фигурами. Это точка зрения формализма. Согласно Фреге, ни одна из этих теорий не может объяснить все свойства арифметики. Формализм не справляется с ее применимостью к эмпирической области, психологизм не может объяснить ее независимость и объективность, а миллевский эмпиризм не учитывает ее достоверность и универсальность. (Как, спрашивает Фреге, О или "^—1 могут обозначать груду булыжников?)

По его мнению, философы были вынуждены выбирать между этими неудовлетворительными теориями, ибо они ошибочно полагали, что все объективное должно существовать в пространстве. В результате им ничего не оставалось, как или склониться к пространственной трактовке чисел (как совокупностей объектов или меток на бумаге), или принять субъективную точку зрения. Однако, считает Фреге, это — ложная антитеза: .«числа не являются ни пространственными, ни физическими, но они не являются и субъективными подобно идеям; они чувственно невоспринимаемы и объективны».

==113

Мы поймем, как преодолеть традиционную антитезу субъективного и объективного, если, утверждает Фреге, осознаем, что числа применяются к «понятиям»; при этом понятие трактуется им не как «идея» или образ в индивидуальном сознании, а как «объект Разума». Если мы обратимся к физической вещи, то сразу увидим, что она не содержит в себе никакого конкретного числа. Например, кучу камней можно считать единицей (как одну отдельную кучу), или числом двадцать (как содержащую двадцать камней), или числом пять (как состоящую из пяти слоев). Сама по себе она не обладает ни одним из этих чисел, а с еще большей очевидностью она не может быть, утверждает он, «нулем». Отсюда Фреге заключает, что счету подлежит не множество объектов, а понятие. «Если я говорю, что «Венера имеет О спутников», то здесь ничего не утверждается о просто несуществующем спутнике или совокупности спутников; здесь на самом деле понятию «спутник Венеры» приписывается некоторое свойство, а именно — свойство ничего не охватывать собой».

Хотя Фреге утверждает, что числа «принадлежат» понятиям, он не имеет в виду, что 0 или любое другое число является свойством понятия. Числа входят в качестве составных частей в такие сложные предикаты, как «ничего не охватывающий собой», но не исчерпывают всего содержания этих предикатов. Числа, по его мнению, это не свойства, а объекты. Предложение «спутников Юпитера — четыре», в котором на первый взгляд число четыре приписывается спутникам Юпитера, следует понимать, считает он, как «число спутников Юпитера есть четыре»; таким образом, это предложение утверждает тождественность двух объектов: числа спутников Юпитера и четырех. Слово «есть» в выражении «есть четыре» не является обычной предикативной связкой, а выражает тождество, как и в предложении «Колумб есть первооткрыватель Америки».

Следующей проблемой для Фреге в его объяснении чисел становится определение того «объекта», который может входить составной частью в огромное число различных предложений. Фреге формулирует эту проблему как установление смысла высказывания «число, принадлежащее понятию F, есть то же самое число, что и принадлежащее понятию G». Если мы сможем определить, не используя понятия числа, выражение «X и Y имеют одно и то же число», то будем знать, что такое число.

Фреге предлагает следующее решение. Число, принадлежащее понятию F, является объемом понятия равный понятию F. Присваивать одно и то же число понятиям F и G — значит утверждать тождественность объема понятия равный F объему понятия равный G. Например, утверждать, что в определенной группе студентов-философов число мужчин и женщин равно, значит утверждать, что понятие равный женщинам в группе студентовфилософов обозначает тот же самый класс объектов (имеет тот же самый объем), что и понятие равный мужчинам в группе студентов-философов. Таким образом, Фреге определил понятие имеющий то же самое число, что и, используя чисто логические понятия класса и объема. Взяв это определение в качестве исходного, он затем с помощью логических терминов строит, определения для ряда чисел. «Нуль» он определяет как число, принадлежащее понятию не тождественный самому себе, и ясно, что нет ничего, что принадлежало бы этому понятию. Затем Фреге из этого определения нуля с

==114

_______________________Глава 6_________________________

помощью нескольких изобретательных приемов выводит ряд чисел, следующих за нулем. Таким образом, утверждает он, математик не нуждается в исходных математических идеях Пеано; арифметику можно вывести из чисто логических по своему характеру понятий.

Такая трактовка математики рождает великое множество проблем; наиболее очевидная из них связана с необходимостью дать удовлетворительное объяснение, в каком отношении находятся понятия к объектам, которые «подводятся под» них, и к числам, которые «присваиваются» им. Именно эти проблемы Фреге довольно подробно рассматривает в статьях «Функция и понятие» (1891), «Понятие и объект» (1892) и «Смысл и значение» (1892)25.

По существу, он обобщает алгебраическое различие между функцией и аргументом. В таком алгебраическом выражении, как 2х^ + х, «функция», говорит он, представлена тем, «что имеется в этом выражении помимо буквы х». Схематично ее можно изобразить как 2( )3 + ( ), где пропуски должны быть заполнены «аргументом» х. Определенная таким образом функция имеет важную особенность, а именно, она не может быть самостоятельной в том же смысле, в каком самостоятельным является аргумент. Функция, говорит Фреге, является «ненасыщенной»; для образования выражения ее необходимо дополнить, указав аргумент. Отсюда он заключает, что вопрос о том, «какой объект обозначает функция», бессмыслен, ибо функция не является именем объекта. И хотя функция не обозначает никакого объекта, в контексте алгебраического предложения она имеет смысл.

«Предикатное выражение» в повседневных предложениях, продолжает Фреге, используется аналогично функции. Например, выражение «... покорил галлов» получает смысл, только когда вместо «...» мы подставляем в него имя собственное, так же как ( )^ получает смысл, только когда мы помещаем в скобки «аргумент». Таким образом, словосочетание «покорил галлов» является «ненасыщенным»: оно выражает функцию, а не служит именем объекта. У нас возникает недоумение, как такое выражение может иметь значение, только потому, что мы воображаем, будто каждое слово должно иметь значение, независимое от тех предложений, в которые оно входит. Фреге призывает нас устранить этот источник недоразумения, приняв принцип: «никогда не спрашивать о значении слова в отдельности, а только в контексте предложения».

В теории значения (meaning), разрабатываемой им дальше, предикатные выражения постепенно отходят на второй план и акцент переносится на предложения и «имена собственные», трактуемые столь широко, что именем собственным оказывается любое имя «аргумента». В качестве главного принципа Фреге подчеркивает важность различения в обоих этих случаях «смысла» и «предметного значения» (reference).

Совершенно очевидно, считает Фреге, что два выражения могут быть «тождественными по предметному значению», «обозначая» один и тот же объект, и в то же время различаться по смыслу. Подходящим примером служат выражения 2 + 2 и 4. Если бы они не обозначали один и тот же объект, их нельзя было бы подставлять на место друг друга в математических уравнениях, и, в равной мере, если бы они не различались по смыслу, то утверждение 2 + 2 = 4 не сообщало бы нам никакой информации. Сход-

==115

ные соображения можно высказать и в отношении выражений «Утренняя звезда» и «Вечерняя звезда». Оба эти выражения обозначают один и тот же объект, но при этом установление тождественности Утренней звезды и Вечерней звезды было важным астрономическим открытием. Стало быть, утверждение «Утренняя звезда есть Вечерняя звезда» является информативным, в то время как предложение «Вечерняя звезда есть Вечерняя звезда» не сообщает нам никакой информации. Для согласования этого различия в информативности с тем, что рассматриваемые выражения обозначают один и тот же объект, мы должны принять, что они различаются по смыслу. Без этого различия между смыслом и предметным значением нельзя объяснить, как возможно применение различных выражений к одному и тому же объекту.

Аналогичным образом, утверждает Фреге, мы вынуждены проводить различие между смыслом и предметным значением применительно к предложению в целом. Любое предложение содержит в себе «мысль», т. е. то, что мы, например, стремимся сохранить при переводе предложения с одного языка на другой26. Что же такое «мысль» — смысл или предметное значение предложения? Мы легко можем предположить, что она является предметным значением, и тем самым истолковать предложение как сложное имя собственное, обозначающее «мысль». Но, отмечает Фреге, когда мы заменяем в предложении какое-нибудь слово или словосочетание на другое, обозначающее тот же самый объект, но имеющее иной смысл, «мысль» в итоге меняется. Предложение «Утренняя звезда есть тело, освещаемое солнцем» содержит мысль, отличную от той, что высказывается в предложении «Вечерняя звезда есть тело, освещаемое солнцем». Однако это различие не влияет на предметное значение этих предложений. Таким образом, заключает он, «мысль» не может быть предметным значением предложения, а потому является его смыслом.

Следует ли отсюда, что предложения не имеют предметного значения? Если бы они использовались только как составные части произведений искусства, то для нас их предметное значение было бы совершенно несущественным. Предложение «Одиссей достиг берегов Итаки в глубоком сне», безусловно, имеет смысл, но нам совершенно неважно, имеет ли слово «Одиссей», а следовательно, и все предложение в целом предметное значение. Но ситуация в корне меняется, когда нас начинает интересовать, истинно какое-то предложение или ложно; именно тогда нам нужно знать его «предметное значение».

Таким образом, считает Фреге, мы неизбежно приходим к выводу, что «истинностное значение» и образует предметное значение предложения, т. е. значением предложения может быть Истинно или Ложно27. «Следовательно, каждое повествовательное предложение, в котором существенно предметное значение входящих в него слов, необходимо всегда рассматривать как имя собственное, и его предметным значением, если таковое имеется, является Истинно или Ложно». Отсюда, безусловно, вытекает, что все истинные предложения имеют одно и то же предметное значение и все ложные предложения — тоже. Знать только предметное значение предложения, не зная его смысла, невозможно, ибо мы никогда не знаем «истину» как таковую, а всегда — конкретные предложения, обозначающие истину.

==116