2 Рис.2.3 .2. Кинематика вращательного движения

Пусть твердое тело вращается относительно неподвижной (или мгновенной) оси вращения. Примем точку О оси вращения за начало координат, а центр окружности, по которой движется произвольная точка М тела, обозначим О₁ (рис.2.3). Положение точки М определим с помощью радиус-вектора

, (2.1)

где - радиус-вектор дуги окружности, по которой движется точка М.

За время вектор поворачивается в плоскости, перпендикулярной оси ОО₁ на угол . На такой же угол за время поворачивается радиус-вектор любой другой точки тела. Следовательно, угол поворота характеризует перемещение всего вращающегося тела и называется угловым путем, пройденным телом. Очень малые, элементарные углы поворота тела могут рассматриваться как векторы, численно равные и направленные вдоль оси вращения по правилу правого винта (буравчика). Такие векторы называют аксиальными векторами или псевдовекторами.

Кинематической характеристикой, характеризующей направление и быстроту вращения тела вокруг оси, является угловая скорость

или . (2.2)

Угловая скорость также является аксиальным вектором, направление которого совпадает с вектором элементарного поворота (рис.2.3).

При неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси его угловая скорость изменяется. Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называют угловым ускорением

или . (2.3)

При ускоренном вращении, т.е. , вектор совпадает с направлением вектора угловой скорости (рис.2.4,а). При замедленном вращении, когда , направление вектора углового ускорения противоположно вектору (рис.2.4,б).

У

Рис. 2.4

становим связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками вращающегося тела.

За время точка М проходит по дуге окружности радиуса R путь , так что

. (2.4)

Поскольку вектора и взаимно перпендикулярны, при этом вектор направлен в ту же сторону, что и векторное произведение , то

. (2.5)

Заменяя согласно (2.1) на радиус-вектор и учитывая, что векторное произведение коллинеарных векторов и равно нулю, получим

. (2.6)

Таким образом, в случае вращения тела вокруг неподвижной оси за начало координат, из которого проводятся радиус-векторы, можно выбрать любую точку оси вращения.

Выразим теперь тангенциальное и нормальное ускорения произвольной точки М через угловую скорость и угловое ускорение тела:

; (2.7)

. (2.8)

В

Рис.2.5

соответствии с рис.2.5 формулы (2.43) и (2.44) можно представить в векторном виде

; (2.9)

. (2.10)

В заключение рассмотрим частные случаи вращательного движения тела вокруг неподвижной оси:

а) равномерное вращение:

; (2.11)

б) равнопеременное вращение:

, , (2.12)