4.5. Связь силы и потенциальной энергии

Поле консервативных сил можно описать, задавая либо силу в каждой точке, либо значение потенциальной энергии. Установим связь этих двух эквивалентных способов описания, т.е. общее соотношение между силой и потенциальной энергией.

Рассмотрим элементарное перемещение материальной точки в поле консервативных сил вдоль оси X на величину dx.

Такое перемещение сопровождается совершением работы со стороны сил поля

.

Та же работа может быть представлена и как убыль потенциальной энергии

.

Приравняв оба выражения для работы, получим

или

Выражение представляет собой производную функции , вычисленную в предположении, что переменные y и z остаются неизменными, а изменяется лишь x. Подобные производные по одной координате при фиксированных остальных называются частными и обозначаются (см.приложение1). Следовательно

. (4.23)

Аналогичным образом, получим

, . (4.24)

Зная компоненты силы на соответствующие орты координатных осей, можно найти вектор силы

. (4.25)

Здесь - называется оператором набла, а выражение читается как «градиент U».

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком. Вектор градиента направлен в сторону наиболее быстрого возрастания функции при изменении координат. Поэтому сила направлена в сторону наиболее быстрого убывания потенциальной энергии.

Смысл градиента станет наглядным, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение.

Проекция силы на касательную к эквипотенциальной поверхности () в каждой точке должна быть равна нулю

.

Из этого следует, что вектор силы нормален эквипотенциальной поверхности в каждой точке, а его модуль равен

.

И

Рис.4.6

так, (градиент U) – это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии (рис. 4.6).

Полученное соотношение (4.25), связывающее силу с потенциальной энергией, в практическом отношении удобно для вычисления силы, если известна потенциальная энергия как функция координат. Подобные примеры будут рассмотрены ниже (см. 4.9.).

4.6. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим механическую систему, в которой наряду с консервативными силами действуют также диссипативные силы. Приращение кинетической энергии системы при ее переходе из положения 1 в положение 2 будет равно работе всех действующих внешних и внутренних сил. В свою очередь, работу внутренних сил представим в виде суммы работ всех консервативных и диссипативных сил

. (4.26)

Работа консервативных сил может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы

. (4.27)

Используя это соотношение, приходим к равенству

. (4.28)

Сумма кинетической и потенциальной энергии системы представляет собой полную механическую энергию системы. Отсюда следует, что приращение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и всех внутренних диссипативных сил

. (4.29)

Если система является замкнутой () и консервативной, т.е. такой в которой отсутствуют внутренние диссипативные силы (), то ее полная механическая энергия не изменяется ().

Таким образом, полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, при всех происходящих в ней процессах остается постоянной. В этом утверждении заключается один из основных законов механики – закон сохранения механической энергии.

Если внутри замкнутой системы действуют неконсервативные силы, то механическая энергия такой системы постепенно уменьшается, превращаясь в другие, немеханические формы энергии. Такие замкнутые неконсервативные системы, энергия которых убывает, называются диссипативными.

Любая реальная механическая система диссипативна, поскольку в ней всегда присутствуют силы трения, силы сопротивления среды и т.д., приводящие к рассеянию, т.е. диссипации энергии. Однако, убыль механической энергии всегда в точности равна приращению энергии других, немеханических форм движения материи. Так, например, «потерянная» из-за трения кинетическая энергия переходит в тепло, т.е. внутреннюю энергию. Полная энергия различных форм движения в изолированной системе всегда сохраняется, она может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным, не зависит от времени. Этот общефизический закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы, справедливым для всех известных взаимодействий.

В заключении отметим, что закон сохранения энергии, как и закон сохранения импульса, является весьма эффективным методом решения задач. Принцип использования законов сохранения универсален – не решая уравнений движения, он позволяет сразу же связать начальное и конечное состояние системы. Особенно полезным оказывается применение законов сохранения энергии и импульса к задачам о соударениях.